(模板)强连通分量

强连通分量（Tarjan）

个人认为：求强连通分量的过程就是缩点的过程

算法主要步骤

1. \(dfn(n)\)时间戳
2. \(low(n)\)点\(n\)和它子树中的返祖边和横插边能连到还没有出栈的\(dfn\)的最小的点
3. 在\(dfs\)的时候维护一个栈，第一次访问某一个节点时就把这个点加入到栈中，当一个点\(x\)的\(dfn(x) = low(x)\)时，它就是这个强连通分量在搜索树中最高的点，将栈里的点出栈，知道点\(x\)也出栈，这些点构成一个强连通分量

一些思考

1. 当\(dfn(x) = low(x)\)时，它就不能通过返祖边或者横插边去到比它更靠上的点了
2. 理解它的正确性:
   • 在dfs中，先出栈的点一定能被后出栈的点到达
   • 越是靠后出栈就越有可能到达不了 （\(Kasaraju\)）
   • 所以当访问到了一个\(low(x) = dfn(x)\)的点时，一定是通过横插边或者返祖边回到了之前某个点，也就组成了一个强连通分量

代码

const int maxn = 1e5;
int dfn[maxn], low[maxn];
int col[maxn]; // 每个点属于哪一个强连通分量
bool vis[maxn]; // 是否在我维护的栈中
int cnt = 0;
int num = 0; // 有几个强连通分量
std::stack<int> stk;
std::vector<int> edge[maxn];
void tarjan(int x)
{
    dfn[x] = low[x] = ++cnt;
    vis[x] = 1;
    stk.push(x);
    for (int i = 0; i < edge[i].size(); i++)
    {
        int y = edge[x][i];
        if (dfn[y] == 0) // 树边
        {
            tarjan(y);
            low[x] = std::min(low[x], low[y]);
        }
        else if (vis[y] == 1) // 在栈中才有效 返祖边或横插边
        {
            low[x] = std::min(low[x], dfn[y]);
        }
    }
    if (low[x] == dfn[x])
    {
        num++;
        while(true)
        {
            int top = stk.top(); 
            col[top] = num;
            vis[top] = 0;
            stk.pop();
            if (x == top) break;
        }
    }
}