SPJ 的解析几何日记 3 —— 椭圆与双曲线焦点三角形内心的处理

这是来自集英苑公众号的一道解析几何小题。

题面

已知椭圆 \(C\) 的离心率为 \(\dfrac{1}{2}\)，左右焦点分别为 \(F_1,F_2\)，\(P\) 为 \(C\) 上不与椭圆顶点重合的一点。记 \(\triangle PF_1F_2\) 的重心内心分别为 \(G,I\)，则 \(\triangle PGI\) 与 \(\triangle PF_1F_2\) 的面积之比的取值范围是\(\underline{\quad \blacktriangle\quad}\)；若 \(\dfrac{|PI|}{|PG|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，则 \(\triangle PGI\) 与 \(\triangle PF_1F_2\) 的面积之比为 \(\underline{\quad \blacktriangle \quad }\)。

solution

我们首先来考察一下对于任意椭圆 \(x^2/a^2+y^2/b^2=1\)，该椭圆上一点 \(P(x_0,y_0)\) 与椭圆左右焦点 \(F_1(-c,0),F_2(c,0)\) 形成的焦点三角形内心坐标。

由奔驰定理可知：

\[S_{\triangle PIF_2} \cdot \overrightarrow{IF_1}+S_{\triangle PIF_1} \cdot \overrightarrow{IF_2} +S_{\triangle IF_1F_2} \cdot \overrightarrow{IP}=\overrightarrow{0} \]

同时由于三角形内心的性质：

\[S_{\triangle PIF_2} : S_{\triangle PIF_1} :S_{\triangle IF_1F_2} = |PF_2|:|PF_1|:|F_1F_2| \]

于是：

\[|PF_2| \cdot \overrightarrow{IF_1}+|PF_1| \cdot \overrightarrow{IF_2} +|F_1F_2| \cdot \overrightarrow{IP}=\overrightarrow{0} \]

设 \(I(x_I,y_I)\)，由等式两边向量的两个分量分别相等：

\[|PF_2|(-c-x_I)+|PF_1|(c-x_I)+|F_1F_2|(x_0-x_I)=0 \\ |PF_2| (-y_I)+|PF_1| (-y_I)+|F_1F_2|(y_0-y_I)=0 \]

由 \(|PF_1|+|PF_2|=2a,|F_1F_2|=2c\)，将下面的式子整理可得：

\[y_I=\frac{c}{a+c} y_0=\frac{e}{e+1}y_0 \]

由焦半径公式：\(|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0\)，代入上面的式子整理可得：

\[x_I=\frac{(e+1)c}{a+c}x_0=\frac{e(e+1)}{e+1}x_0=ex_0 \]

于是我们得出结论：

对于椭圆 \(x^2/a^2+y^2/b^2=1\)，设其焦点为 \(F_1(-c,0),F_2(c,0)\)，离心率为 \(e\)，\(P(x_0,y_0)\) 为椭圆上一点，那么 \(\triangle PF_1F_2\) 的内心为 \(I \left (ex_0,\dfrac{e}{e+1}y_0\right )\)。

接下来我们正式开始解决这道问题。不失一般性地，我们设 \(C:x^2/4+y^2/3=1\)，于是 \(F_1(-1,0),F_2(1,0)\)。再设 \(P(x_0,y_0)\)，那么 \(x_0^2/4+y_0^2/3=1\)。

由重心坐标公式可知 \(G(x_0/3,y_0/3)\)，由上述内心坐标结论可知 \(I(x_0/2,y_0/3)\)。

所以 \(GI\) 平行 \(x\) 轴，于是：

\[\begin{aligned} S_{\triangle PGI}&=\frac{1}{2} \cdot |GI| \cdot |y_P-y_G| \\ &=\frac{1}{18}|x_0y_0| \\ \end{aligned} \]

\[S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{1}{2} \cdot |F_1F_2| \cdot |y_0|=|y_0| \]

\[\frac{S_{\triangle PGI}}{S_{\triangle PF_1F_2}}=\frac{1}{18}|x_0| \in \left (0,\frac{1}{9}\right ) \]

由 \(x_0^2/4+y_0^2/3=1\) 得 \(y_0^2=3-\dfrac{3}{4}x_0^2\)。

于是：

\[\begin{aligned} |PG|&=\frac{2}{3}|PO| \\ &=\frac{2}{3} \sqrt{x_0^2+y_0^2} \\ &=\frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{4}x_0^2+3} \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} |PI|&=\sqrt{\frac{1}{4}x_0^2+\frac{4}{9}y_0^2} \\ &=\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{1}{12}x_0^2} \end{aligned} \]

于是：

\[\frac{\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{1}{12}x_0^2}}{\frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{4}x_0^2+3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

解得 \(|x_0|=\sqrt{2}\)，所以此时 \(\dfrac{S_{\triangle PGI}}{S_{\triangle PF_1F_2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{18}\)​。

所以两空答案分别为 \(\boxed{\left (0,\frac{1}{9}\right )},\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{18}}\)。

其他方法

下面再提供一种不需要奔驰定理的方法，更适合用于大题的过程书写。

设原点为 \(O\)，椭圆方程为 \(x^2/a^2+y^2/b^2=1\)，半焦距为 \(c\)，离心率为 \(e\)，\(P(x_0,y_0)\)，直线 \(PI\) 与 \(F_1F_2\) 交于 \(E\)，由角平分线定理：

\[\frac{|PI|}{|IE|}=\frac{|PF_1|}{|F_1E|}=\frac{|PF_2|}{|F_2E|}=\frac{|PF_1|+|PF_2|}{|F_1E|+|F_2E|}=\frac{2a}{2c}=\frac{1}{e} \]

故 \(y_I=\dfrac{e}{e+1}y_0\)。

又：

\[|EF_1|=x_E+c=e|PF_1|=e(a+ex_0)=e^2x_0+c \]

故 \(x_E=e^2x_0\)，于是有：

\[x_I=\frac{1}{e+1}x_E+\frac{e}{e+1}x_0=ex_0 \]

所以 \(I \left (ex_0,\dfrac{e}{e+1}y_0\right )\)。

更一般化的内心处理

模仿上述我们处理的过程，使用奔驰定理和内心的几何性质我们可以得到，\(\triangle ABC\) 的内心 \(I\) 满足：

\[x_I=\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c} \\ y_I=\frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c} \]

其中 \(a,b,c\) 分别为点 \(A,B,C\) 对边长度。

双曲线焦点三角形内心

既然椭圆焦点三角形内心有如此好的性质，那么双曲线呢？

设双曲线 \(x^2/a^2-y^2/b^2=1\)，设其焦点为 \(F_1(-c,0),F_2(c,0)\)，离心率为 \(e\)，\(P(x_0,y_0)\) 为双曲线上一点，\(I\) 为 \(\triangle PF_1F_2\) 的内心。不妨先假设 \(P\) 在双曲线的右支上。

过 \(I\) 作 \(IE\) 垂直 \(x\) 轴于 \(E\)，那么由内心几何性质：

\[|EF_1|-|EF_2|=|PF_1|-|PF_2|=2a \]

而：

\[|EF_1|+|EF_2|=2c \]

于是 \(|EF_1|=a+c\)，\(E(a,0)\)，所以 \(x_I=a\)​。

对于纵坐标，由上述结论可知：

\[\begin{aligned} y_I&=\frac{2c \cdot y_0}{2c+|PF_1|+|PF_2|} \\ &=\frac{2c \cdot y_0}{2c+ex_0+a+ex_0-a} \\ &=\frac{cy_0}{c+ex_0} \\ &=\frac{ay_0}{a+x_0} \end{aligned} \]

所以 \(P\) 在右支时，\(I\left (a,\dfrac{ay_0}{a+x_0} \right )\)。

\(P\) 在左支时，同理可得 \(I\left(-a, \dfrac{ay_0}{a-x_0}\right)\)，推导过程不再赘述。

于是综合可得：\(\boxed{I\left (\mathrm{sgn}(x_0)a,\dfrac{ay_0}{a+|x_0|} \right)}\)，其中 \(\mathrm{sgn}()\) 是符号函数。

由此我们还可以再推出一个有趣的性质，不妨假设 \(P\) 在右支，那么：

\[\begin{aligned} y_I^2&=\frac{a^2y_0^2}{(x_0+a)^2} \\ &=\frac{a^2\left (\frac{b^2}{a^2}x_0^2-b^2\right )}{(x_0+a)^2} \\ &=\frac{b^2(x_0+a)(x_0-a)}{(x_0+a)^2} \\ &=\frac{x_0-a}{x_0+a}b^2 \end{aligned} \]

由 \(\dfrac{x_0-a}{x_0+a} \in [0,1)\)，知 \(y_I^2 \in [0,b^2)\)，所以 \(y_I \in (-b,b)\)。\(P\) 在左支时，由对称性知该结论仍然成立。

所以，双曲线焦点三角形内心纵坐标取值范围是 \(\boxed{(-b,b)}\)。