SPJ 的解析几何日记 1 —— 2020 浙江卷

听说这是最好的浙江卷解析几何？让我来做一做，也当成这个系列的第一篇。

思考用时约 \(14\mathrm{min}\)（不包含写过程的时间）。

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解析几何，从来都应该是重解析，而不是重几何，考虑几何元素的不同生成方法和生成顺序才是解析几何的精髓。

题面

已知椭圆 \(C_1:x^2/2+y^2=1\)，抛物线 \(C_2:y^2=2px(p>0)\)，点 \(A\) 是椭圆 \(C_1\) 和抛物线 \(C_2\) 的交点，过点 \(A\) 的直线 \(l\) 交椭圆 \(C_1\) 于点 \(B\)，交抛物线 \(C_2\) 于点 \(M\)（点 \(B,M\) 不同于点 \(A\)​）。

1. 若 \(p=1/16\)，求 \(C_2\) 的焦点坐标；
2. 若存在不过原点的直线 \(l\) 使得 \(M\) 为线段 \(AB\) 的中点，求 \(p\) 的最大值。

My solution

思路

第一问是显然的：焦点为 \((1/32,0)\)，我们着重看第二问。

解析几何题第一步一定是考虑如何生成题目中的几何元素！

不要被出题人预设的生成方法牵着走！

此题与 \(2024\) 新课标一卷的解析几何都涉及到这一思想，且这两题的确有相似之处。

题目中是由两条圆锥曲线相交生成 \(A\)，再由 \(A\) 引出一条直线生成 \(B,M\)，这样的生成方式是极其不利于我们计算的。因为 \(A\) 的坐标就已经足够复杂，如果还要再设出 \(l\) 的斜率进而得到 \(l\) 的方程，再联立圆锥曲线算出 \(B,M\) 坐标，这个计算量是不可接受的。

因此需要转换视角！

我们熟知抛物线的参数方程极其简单，抛物线上两点连线方程也极其简单。因此我们考虑如下生成方式：

利用 \(A,M\) 在抛物线上设出 \(A,M\) 坐标 \(\Rightarrow\) 写出直线 \(AM\) 方程 \(\Rightarrow\) 验证 \(M\) 是 \(AB\) 中点（点差法斜率积结论） \(\Rightarrow\) 验证 \(A\) 在椭圆上

这样做，这题就基本不存在计算量了。

过程

设 \(M(2pm^2,2pm),A(2pa^2,2pa)\)。

则直线 \(MA\) 的方程为 \(x-(m+a)y+2pma=0\)​。

由直线 \(l(MA)\) 不过原点，知 \(m \ne 0\)。

于是 \(k_{MA}=1/(m+a),k_{OM}=1/m\)。

由点差法可得，\(k_{MA} \cdot k_{OM}=-1/2\)，于是 \(\dfrac{1}{m(m+a)}=-\dfrac{1}{2}\)。

点 \(A\) 在椭圆 \(C_1\) 上，所以：

\[\frac{4p^2a^4}{2}+4p^2a^2=1 \]

整理得：

\[a^2(\frac{a^2}{2}+1)=\frac{1}{4p^2} \]

由 \(\dfrac{1}{m(m+a)}=-\dfrac{1}{2}\) 可得：

\[a=-m-\frac{2}{m} \]

于是：

\[a^2=m^2+\frac{4}{m^2}+4 \]

代入 \(a^2(\dfrac{a^2}{2}+1)=\dfrac{1}{4p^2}\) 得：

\[\frac{1}{4p^2}=(m^2+\frac{4}{m^2}+4)(\frac{m^2}{2}+\frac{2}{m^2}+3) \]

题意等价于，存在一个正实数 \(m\) 使得上述式子成立，于是只需要求右式最小值。

而：

\[(m^2+\frac{4}{m^2}+4)(\frac{m^2}{2}+\frac{2}{m^2}+3) \ge (2\sqrt{m^2 \cdot \frac{4}{m^2}}+4)(2\sqrt{\frac{m^2}{2} \cdot \frac{2}{m^2}}+3)=40 \]

两个基本不等式的等号都于 \(m^2=2\) 取得，可以同时取得，因此最小值可以取到。

于是 \(\dfrac{1}{4p^2} \ge 40\)，得到 \(p^2 \le \dfrac{1}{160}\)，结合 \(p>0\) 得到 \(0<p\le \dfrac{\sqrt{10}}{40}\)，经检验 \(p=\dfrac{\sqrt{10}}{40}\) 时点 \(A,B,M\) 的确存在且互异，因此 \(p\) 的最大值为 \(\dfrac{\sqrt{10}}{40}\)​。

评价

思维量：\(5/5\)；

计算量：\(2.5/5\)。