Dpsne. [Frog OI Round 2] 北京天马

不难发现DP：\(f_{i,j}=\max\limits_{k<j}\{f_{k,j-1}+\frac{i-k}{i}\}\)。

先证明转移满足四边形不等式：

考虑 \(a\leq b\leq c\leq d\)，只需证明 \(\frac{c-a}c-\frac{d-b}d\geq\frac{d-a}d-\frac{c-b}c\)，即 \(2-\frac{a}c-\frac{b}d\geq 2-\frac{a}d-\frac{b}c\)，即 \(ad+bc\leq ac+bd\)。

作差，\(ad+bc-(ac+bd)=a(d-c)-b(d-c)=(a-b)(d-c)\)，条件满足 \(a-b\leq 0, d-c\geq 0\)，所以 \(ad+bc\leq ac+bd\)，所以转移满足四边形不等式。

有一个结论是，限制区间个数的区间分拆问题，如果区间权值满足四边形不等式（\(w(a,c)+w(b,d)\geq w(a,d)+w(b,d)\) 对应最大化问题，反之亦然），则答案对区间个数有凸性（最大化问题为上凸性）。参考这篇博客，文中证明了最小化问题有下凸性，不难推广到最大化问题。

所以答案有凸性，wqs二分即可。