2 2 Day 6 分治结构+Day 7 cdq 分治与分治杂题

• Day5之前把基础的东西听完了，Day4后面听了一段时间有点难以理解，先鸽一段时间，开day 6
• P3350
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  • 考虑每次对长度较长的边对半切开分治，记切开的这条边上的节点的集合为 \(C\)，被切开的矩形的节点集合为 \(U\) 那么对于 \(C\) 中的每个节点在 \(U\) 上跑一遍单源最短路，若我们的询问节点 \((sx,sy)\)，\((ex,ey)\) 在这个矩形上且被 \(C\) 分开，则对于每一组这样的起点终点，在 \(C\) 集合中枚举点 \(x\)，作为中转点，求 \((sx,sy)\) 和 \((ex,ey)\) 的最短路。
  • 时间复杂度为 \(O(Q sqrt_{N} + N^{1.5} \cdot \log_{N})\)
  • 这个代码感觉有点难写。经过一番激战还是写出来了。
• CF232E Quick Tortoise
  • 按照上面的做法做少一个 \(\log\) 即为 \(O(Q sqrt_{N} + N^{1.5})\) (\(N\) 为平面图的大小即为矩阵点数)
  • 用 bitset 来进行优化
    • 具体地记录每个点用bitset记录它能到哪些中转点/哪些中转点能到达它
    • 查询把两个bitset与一下看有没有交即可
  • 故时间复杂度为 \(O(\frac{Q sqrt_{N} + N^{1.5}}{w} )\)
• 题目：一个连通图，边-点=\(k\),\(k\) 很小，\(q\) 组查询求最短路
  • 对这个连通图求出一棵最小生成树，故还剩了 \(k+1\) 个条边，把这 \(k+1\) 条边的任一端点作为中转点，求出它们到其他所有点的最短路，对于查询 \((sx, ex)\) 要么 \(sx -> ex\) 走树上的边，要么经过中转点，即可
• D Giant Penguin qoj837
  • 首先我们肯定是想用一个比较小的点集把图分成两部分，求出这个点集到最近黑点的距离，再求出这个点集到图上所有点的距离，来更新这图上所有点到黑点的距离，然后再分。
  • 考虑 一个点最多在 \(k\) 个简单环的条件，我们发现先随便用这个图的一棵树的重心来分，可以发现最多有 \(k\) 条横叉的边，（因为根节点最多在 \(k\) 个简单环中），故我们可以用这 \(k\) 条返祖边断开这颗树，用 \(2k+1\) (包括根节点) 来作为这个断开这张图的点集，按上述方法实现。
  • 考虑如何进行两个操作
    • 染色
      • 把这个节点所在的最多 \(\log_{N}\) 张图，更新短链到最近黑点的距离。 （一次操作的复杂度为 \(k \log_{N}\)）
    • 查询
      • 把这个节点所在的最多 \(\log_{N}\) 张图，对图的短链上的所有点求取答案 (一次操作的复杂度为 \(k \log_{N}\))
  • 又因为预处理的时间复杂度为 \(N k \log_{N}\)
  • 所以总的时间复杂度为 \(O((N + Q) \cdot k \log_{N})\)
  • 类似点分树/点分治的思想！（每次选取重心为根节点）

• 全局平衡二叉树

  • 没太理解dyh在说什么，没理解重链应该是按重链上的节点，还是要包含重链上挂的节点，加上这个感觉不太常用，也比较难学。算了先补别的知识吧

• Day 7 cdq分治与分治杂题

  • B
    • 题意：给定一个数列 \(a\)，求划分区间的方案，需要满足 \(i\) 所在的区间长度 \(len >= a_i\)，对于每个 \(x = 1-n\) 求出把 \(a_x\) 改成 1 后的划分区间方案数
    • 先考虑没有修改操作我们应该怎么做
      • 采取 cdq分治
      • 对于 \([l,mid]\) 先处理，再计算 \([l,mid]\) 对 \([mid+1,r]\) 的贡献，后处理 \([mid+1,r]\)
      • 考虑如何计算 \([l,mid]\) 到 \([mid+1,r]\) 的贡献
      • 对于所有 \([l,mid]\)的，定义 \(L_i\) 为 \(j \in [i,mid]\) 的 \(a_j\) 的最大值
      • 对于所有 \([mid+1,r]\)的，定义 \(R_i\) 为 \(j \in [mid+1,i]\) 的 \(a_j\) 的最大值
      • 故若 \(i\) 能转移到 \(j\) 需要满足 \(j-i >= \max(L_i,R_j)\) 即 \(L_i + i <= j\) 且 \(i <= j - R_j\)，对这个进行二维数点即可(对某一维排序后用树状数组维护另一维)。
      • 时间复杂度为 \(O(N \log_{N}^2)\)
    • 考虑修改
      • 定义 \(f_i\) 为 \(1-i\) 的划分方案，\(g_i\) 为 \(i-n\) 的划分方案（\(g_i\) 的求解可以倒过来求一遍cdq分治）
      • 考虑统计 \(i \in [l,r]\) \([l,r]\) 区间合法的 \(\sum_{[l,r]合法} f_{l-1} \cdot g_{r+1}\)