2025 12 2

• 坏了是不是好久没写总结了，之前格了一段时间，然后本来打算11.27写的，但是生病了/jk，后面就NOIP了，病现在好的差不多了来着/jk
• DAY10 T2
  • 定义 \(f_s\) 表示 \(s\) 子集中，只考虑 \(s\) 的导出子图，1 能到达 \(s\) 里所有点的方案
  • 定义 \(g_s\) 表示 \(s\) 子集中，只考虑 \(s\) 的导出子图，2 能到达 \(s\) 里所有点的方案
  • \(E_s\) 为 \(s\) 内部边数
  • \(f_s = 2^{E_s} - \sum_{t \subseteq s,t \neq s} f_t \cdot 2^{E_{s - t}}\)
  • 考虑1能到达的点集是 \(s\),2能到达的点集是 \(t\)
  • 如果 \(E_{s+t} = E_{s}+E_{t}\) 则 \(s\) 和 \(t\) 无交
  • 答案为 \(\sum_{s交t等于空集} f_s \cdot g_t \cdot 2^{E(全集-s-t)}\) 时间复杂度为 \(O(3^n)\)
• DAY 10 T3
  • 考虑 \(d_i\) 等于 0 的时候我想出来了 \(dp_i\) 表示 \(a\) 的值为离散化后第 \(i\) 小的时候 \(b\) 的最大值，然后考虑用线段树维护即可
  • 最巧妙的一部在于 如何弄掉 $ + d_i$ 的操作
  • 考虑 \(S_i = \sum_{j<=i} d_j\) 令 \(A_i = a_i - S_i, B_i = b_i - S_i, L_i = l_i - S_i, R_i = r_i - S_i\) 故我们可以把 \(a_i + d_i -> a_i\) 的操作转化为 \(A_{i-1} -> A_i\)，第二步则能转换为 \(A_i <- \min(A_i, L_i), B_i <- \min(B_i, R_i)\) 然后用我们上述的做法做就行了
• CF916E 树链剖分+分类讨论
  • 就分讨一下就行了，紫的话虚高感觉
• AT_abc133_f
  • 树剖板题
• 把NOIP T2按照记忆打了来着，然后在洛谷上过了，基本稳了/hanx

• 基环树

  • 一棵树+一条边
  • 无向基环树
    • \(n\) 个点，\(n\) 条边，且 \(n\) 个点联通的图
  • 有向基环树
    • 外向基环树：每个点恰好有一条入边，形态上就是一个环往外走到链
    • 内向基环树：每个点恰好有一条出边，形态上就是任意点出发都会走到环中
  • 基环树的处理
    • 1.断掉环上的某条边，一般适用于基环树DP，从断边两侧跑两次树形DP，汇总维护答案
    • 2.找出环，将整个环视为根节点，看作树来处理，讨论经过环和不经过环的答案
  • 无向基环树找环
    • 方法1：只需要找到环上的一条边，考虑并查集
    • 方法2：需要找到环上所有点和边，考虑类拓扑排序
  • 有向基环树找环
    • 方法1：dfs，从入度为0（或者出度为0）的点遍历并维护深度，当出现有深度的点 \(nxt\) 且 \(dep_nxt < dep_cur\)，找到环 (首选)
    • 方法2：类tarjan，维护栈，找强连通分量（scc）
    • 方法3：拓扑排序
  • 注意二元环
  • P8655 P8943 找环板子题
  • P2607，可以发现由多棵基环树/树，组成故对于基环树枚举一条在环上的边 \((u,v)\) 断掉，并考虑 \(u\) 不选/ \(v\) 不选的情况跑树形DP即可
  • P4381 多棵基环树的直径之和
    • 考虑一棵基环树的直径，以环作为根节点
    • 拓扑排序，算出次长链与最长链求不经过环的最大路径
    • 当直径经过环，则取环上两点 \(p1,p2\) 求 \(max(f_{p1} + f_{p2} + dis(p1,p2))\) (\(f_x\) 为以 \(x\) 为根的子树的最长链)
    • 考虑前缀和优化枚举即可
• 然后晚上被赶去上语文课了。。。