2025 11 11

• CF1743E dp 2400
  • 很关键的性质 每当做第二次操作，我们的两个都会清零回到初始位置
  • 我们可以发现我的操作是由一段单独的+合体+一段单独的+合体+……
  • 故我们可以定义 \(f_i\) 为初始两激光都没有充能一段单独+合体打出 \(i\) 的最少时间，\(dp_i\) 为初始两激光都没有充能打出 \(i\) 的最少时间（由若干次（若干单发+合体）组成）
  • 故枚举 \(j >= 0\) 且 \((p_1 - s) \cdot j < i\) 表示第一种所单独打出的次数，则第二种单独打出的次数为 \(\frac{i-((p_1-s)\cdot j)-(p_1+p_2-s)}{p_2-s}\) (向上取整并对0取max记这个为 \(T\)) 则 \(f_i \min(max((j+1) \cdot t_1, (T+1) \cdot t_2))\)
  • 很容易可以发现 \(dp_i = \min_{j=0}^{i} dp_j + f_{i-j}\)
  • 答案等于 \(\min_{i >= h} dp_i\)
• CF2056D 性质题 2200
  • 这个我还是想了很久的，就是我去想到底该怎么统计符合条件的答案，大概20多min吧，实在不行了看了题解发现了它是考虑计算不合法的，然后我看到这个我就继续往下想
  • 考虑不合法的序列满足什么条件
  • 可以发现若存在 \(x\) 且小于它的数等于区间长度的一半且它自己出现了
  • 然后我们发现这个值域很小所以大概率是枚举这个 \(x\) 是什么
    • 记录 \(cnt_i\) 表示前 \(i\) 个数中小于 \(x\) 的个数
    • 则满足条件的要求即为 \(cnt_r - cnt_{l-1} = \frac{r-l+1}{2}\) 即为 \(2\cdot cnt_r - r = 2 \cdot cnt_{l-1} - l + 1\)
    • 然后我们考虑如何满足 \(x\) 出现这件事，我们可以预处理 \(nxt_i\) 表示 \(x\) 出现的下一次位置，故我们可以枚举左端点，用 map 记录右端点的值再用双指针即可
  • 正难则反，遇到求合法数不妨想想求总数-不合法数
• P7514
  • 排序+双指针 秒
• CF2086E dp，贪心 2400
  • 首先我们考虑这个斑马数的个数肯定是 \(<=30\) 的
  • 然后第 \(i\) 个斑马数为 \(a_i = 4 \cdot a_{i-1} + 1, a_1 = 1\)
  • 我们发现一个数 \(x\) 要分解成若干个斑马数，肯定是从 \(a_i <= x\) 的最大的斑马数开始分解，考虑为什么
    • 反证法
      • 设 \(n\) 为第一个违反条件的数，则不存在 \(n\) 的最优分解中有 \(a_jmax <= n\) 的方案
      • 设分出来的最大的数为 \(a_j\)
        • 若 \(j < i-1\) 因为 \(x - a_j\) 满足条件，所以一定会存在 \(a_{i-1}\) 的分解所以舍去
        • 若 \(j = i-1\) 则至少会有 4 个 \(a_{i-1}\)，还不如直接用 \(a_{i+1}\) 再把一个 \(a_j\) 换成四个 \(a_{j-1}\) 若 \(j=1\) 则直接去掉一个 \(a_j\)
      • 所以可以证明从大到小贪心地选斑马数一定是最优的
  • 所以我们可以得出结论若 \(x = \sum_{i=1} v_i \cdot a_i\) 则 \(\max(v_i) <= 4\)
  • 故所有数的斑马值不会超过 120
  • 我们可以很套路的想到定义 \(dp_{i,j}\) 表示 \(1-i\) 的数中斑马数为 \(j\) 的个数，则 \(dp_{i,j} = dp_{i-mx,j-1} + dp_{mx-1,j}\) （其中mx为小于等于 \(i\) 的最大的斑马数）
  • \(j\) 的数量级将是 \(\log A\)，因此我们来估算一下所需的不同 \(i\) 值的数量。我们将它们分为斑马数 \(i\) 和所有其他数。
  • 如果 \(i\) 是斑马数，那么前一个斑马数是 \(k = \frac{i - 1}{4}\)。因此，\(dp_{i,j} = dp_{k,j} + dp_{i-k,j-1} = \dots = dp_{k,j} + dp_{k,j-1} + dp_{k,j-2} + dp_{k,j-3} + dp_{1,j-4}\)。由此可见，当 \(i\) 是斑马数时，这些状态会生成 O(1) 个新状态，因此总体上，\(i\) 是斑马数的状态以及由它们生成的状态将仅需要 \(O(\log A)\) 个不同的 \(i\) 值。
  • 如果 \(i\) 不是斑马数，其中一个状态转移会导向一个斑马数的状态，而另一个则不会。也就是说，从每个状态出发，存在一个由非斑马数的 \(i\) 值构成的状态"链"，这样的链长度是 \(O(\log A)\)
  • 所以，状态总数将是 \(O(\log^2 A)\)