斯特林数

第一类斯特林数

第一类斯特林数 \({n \brack k}\) 表示把 \(n\) 个有标号的点连成若干个有向环（无顺序）的方案数。

递推式： \({n \brack k}={n-1 \brack k-1}+(n-1){n-1 \brack k}\)

组合意义： 从数字 \(0...n-1\) 中选择 \(n-k\) 个数乘起来的乘积总和。

应用

设 \(F_n(x)=\sum\limits_i {n \brack i} x^i\)，即第一类斯特林数的生成函数。

由递推式，\(F_n(x)=(x+n-1)F_{n-1}(x)\)。

即 \(F_n(x)=x(x+1)(x+2)...(x+n-1)=x^\overline n\)

也可以用组合意义理解。

因此 \(x^\overline n =\sum\limits_{i} {n \brack i} x^i\)，由此可得上升幂和普通多项式之间的关系。

第二类斯特林数

第二类斯特林数 \({n \brace k}\) 表示把 \(n\) 个有标号的东西放在 \(k\) 个无顺序的盒子里，不存在空盒子。

递推式： \({n \brace k}={n-1 \brace k-1}+k{n-1 \brace k},\space {0 \brace 0}=1\)

容斥（可用多项式优化）： \({n \brace k}=\frac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^k \frac{(-1)^i} \times {k \choose i}\times (k-i)^n\)

应用

\[n^k=\sum_{i}^{\min(n,k)}{n \choose i}\times i\times {k \brace i} \]

理解：把 \(k\) 个东西放进 \(n\) 个盒子里 $\Rightarrow $ 有恰好 \(i\) 个盒子非空，方案数之和。