[题解]P12444 [COTS 2025] 发好奖 / Hijerarhija

P12444 [COTS 2025] 发好奖 / Hijerarhija

和树上背包很像，唯一区别在于必须分配 \(c_i\) 的空间才能产生价值。

如果按普通的分组背包来跑，值域是 \(nk\) 的，总时间 \(O(nk^2)\) 过不掉。为此我们尽可能避免合并泛化物品的过程。

一个很厉害的 trick 是在 dfs 序上进行 dp。即令 \(f[i][j]\) 为 dfs 序意义下前 \(i\) 个人，分配 \(j\) 的体积，最大价值。

则有转移：

• 不给 \(i\) 分配体积：\(f[i][j]\to f[i+siz_i][j]\)。

• 给 \(i\) 分配 \(1\) 的体积：\(f[i][j]\to f[i+1][j+1]\)。

• 给 \(i\) 分配 \(c_i\) 的体积：\(f[i][j]+p[i]\to f[i+1][j+c_i]\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define eb emplace_back
#define int long long
using namespace std;
inline void chmx(int &x,int y){x=max(x,y);}
const int N=5005,M=5005;
int ninf;
int n,m,sz[N],rk[N],tim,f[N][M],c[N],p[N],ans;
vector<int> G[N];
inline void dfs(int u){
	rk[++tim]=u,sz[u]=1;
	for(int i:G[u]){
		dfs(i);
		sz[u]+=sz[i];
	}
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	memset(f,-0x3f,sizeof f),ninf=**f;
	cin>>n>>m;
	for(int i=2,f;i<=n;i++){
		cin>>f;
		G[f].eb(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i];
	dfs(1);
	f[1][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=m;j++){
			if(f[i][j]==ninf) continue;
			int x=rk[i];
			chmx(f[i+sz[x]][j],f[i][j]);
			chmx(f[i+1][j+1],f[i][j]);
			if(j+c[x]<=m) chmx(f[i+1][j+c[x]],f[i][j]+p[x]);
		}
	}
	ans=ninf;
	for(int i=0;i<=m;i++) chmx(ans,f[n+1][i]);
	cout<<ans<<"\n";
	return 0;
}

---

另外这个 trick 也可以写普通树上背包，就是去掉分配 \(c_i\) 的情况而已。

相比分组写法不用写一坨上下界优化，细节少码量小。不知道为什么这么冷门。

嗯嗯。之后树形背包都写 dfs 序了（真的）。