[题解]P12025 [USACO25OPEN] Sequence Construction S

P12025 [USACO25OPEN] Sequence Construction S

Ref：P12025 [USACO25OPEN] Sequence Construction S 题解 - Little_x_starTYJ

我们的构造要满足三个条件：

• \(1\le N\le 100\)
• \(\sum_i^N A_i=M\)
• \(\bigoplus_i^N \text{popcount}(i)=K\)

异或和的条件不是很好看，考虑先解决它。

考虑紧贴下界（最小化和）进行构造，只需依次取出 \(K\) 的每个 lowbit \(x\)，将 \(2^x-1\) 加入答案即可。

记此时的和还差 \(M'\) 到 \(M\)。

我们分类讨论一下：

• \(M'<0\)：最小化和的情况下仍不合法，所以无解。

• \(M'=0\)：已经合法。

• \(M'=1\)：

  • 若当前方案中存在 \(1\)，则将这个 \(1\) 变成 \(2\)。
  • 若当前方案中不存在 \(1\)，则无解。

• \(M'>1\) 且 \(M'\) 为偶数：补两个 \(\dfrac{M'}{2}\)。

• \(M'>1\) 且 \(M'\) 为奇数：先补 \(1,2\)，再补两个 \(\dfrac{M'}{2}\)。

这样构造序列长度的上界大概是 \(5+4=9\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define eb emplace_back
using namespace std;
int t,m,k;
vector<int> ans;
inline int lb(int x){return x&-x;}
inline void output(){
	cout<<ans.size()<<"\n";
	for(int i:ans) cout<<i<<" ";
	cout<<"\n";
}
signed main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		ans.clear();
		cin>>m>>k;
		for(int i=k;i;i-=lb(i)){
			int t=(1<<lb(i))-1;
			ans.eb(t);
			m-=t;
		}
		if(m<0) cout<<"-1\n";
		else if(m==0){
			output();
		}else if(m==1){
			bool flg=0;
			for(int& i:ans) if(i==1){
				i=2,flg=1;
				break;
			}
			if(flg) output();
			else cout<<"-1\n";
		}else if(m&1){
			ans.eb(1),ans.eb(2);
			m-=3;
			if(m) ans.eb(m/2),ans.eb(m/2);
			output();
		}else{
			ans.eb(m/2),ans.eb(m/2);
			output();
		}
	}
	return 0;
}