[题解]P5322 [BJOI2019] 排兵布阵

P5322 [BJOI2019] 排兵布阵

我们可以预处理出第 \(i\) 个城堡分配 \(j\) 的兵力能获得多少的得分，记为 \(w[i][j]\)。

则每一个 \(w[i]\) 都是一个泛化物品，即价值（\(w[i][j]\)）随着分配体积（\(j\)）变化的物品。将两个泛化物品合并的代价是 \(O(m^2)\) 的，总时间 \(O(nm^2)\) 无法接受。

我们将问题过度一般化了。实际上这个泛化物品只有 \(s\) 个分段点，完全可以看作一个 \(s\) 个物品的分组背包。若按体积（兵力）为这些物品排序，它们的价值实际上相当于求了原序列的一个前缀和，即 \(i,2i,3i,\dots\)。

所以分组背包即可。时间复杂度 \(O(nms)\)。

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=102,M=20002,S=102;
int s,n,m,a[N][S],f[M];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>s>>n>>m;
	for(int i=1;i<=s;i++) for(int j=1;j<=n;j++) cin>>a[j][i];
	for(int i=1;i<=n;i++) sort(a[i]+1,a[i]+1+s);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int k=m;k;k--){
			for(int j=1;j<=s;j++){
				if(k>2*a[i][j]) f[k]=max(f[k],f[k-2*a[i][j]-1]+i*j);
			}
		}
	}
	cout<<f[m]<<"\n";
	return 0;
}

学到的：分组物品，对于每一组，若某个物品体积 \(\le\) 该组分配的体积即可选（即取 \(\max\) 而非求和），则可以通过对价值前缀和而转为分组背包。