[题解]P11233 [CSP-S 2024] 染色

P11233 [CSP-S 2024] 染色

设 \(f[i][j=0/1]\) 表示涂到第 \(i\) 位，且第 \(i\) 为颜色为 \(j\)，则考虑用 \(i\) 之前能和 \(i\) 匹配的位置 \(p\) 进行转移。\(p\) 需要满足下面的条件：

• \(a[p]=a[i]\)。
• \(p\)的颜色为\(j\)。
• \([p+1,i-1]\)之间的颜色全不为\(j\)。

显然，我们只需要找满足条件的最大 \(p\) 即可，否则答案一定不是最优。所以我们直接维护 \(lst[i]=p\) 为 \(i\) 前面满足条件 \(1\) 的最大，要想满足条件 \(3\)，我们还需要维护 \(g[l][r]\) 表示 \(l,r\) 这个区间全部同色时，该区间的答案，具体求法：

\[g[i][j]=\begin{cases} 0&j\le i\\ g[i][j-1]+a[i]\times [a[i-1]=a[i]]&j>i \end{cases} \]

然后有 \(f\) 的转移（\(p\neq 0\) 时）：

\[f[i][0]=\max(f[i-1][0],f[i-1][1],f[p+1][1]+a[i]+g[p+1][i-1])\\ f[i][1]=\max(f[i-1][0],f[i-1][1],f[p+1][0]+a[i]+g[p+1][i-1]) \]

为什么是 \(f[p+1]\) 而不是 \(f[p]\)？因为 \([p+1,i-1]\) 中，有且仅有 \(p+1\) 可能对 \([1,p-1]\) 中的元素造成贡献，所以需要将 \(p-1\) 之前看作一段统计。

然后可以注意到 \(0\) 和 \(1\) 是对称的，所以砍掉第二维是可以的。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200010
using namespace std;
int t,n,a[N],lst[N],f[N],g[2002][2002];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
	cin>>t;
	while(t--){
		memset(lst,0,sizeof lst);
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=i+1;j<=n;j++){
				g[i][j]=g[i][j-1]+a[j]*(a[j-1]==a[j]);
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			f[i]=f[i-1];
			if(lst[a[i]]) f[i]=max(f[i],f[lst[a[i]]+1]+a[i]+g[lst[a[i]]+1][i-1]);
			lst[a[i]]=i;
		}
		cout<<f[n]<<"\n";
	}
	return 0;
}

时空复杂度都是 \(O(n^2)\) 的，瓶颈在于预处理 \(g\)。不难发现可以只保留 \(g[0]\) 作为 \(sum\)，然后用前缀和的思想，将 \(g[x][y]\) 转为 \(sum[y]-sum[x]\) 即可。这是因为区间同色必须要求匹配的位置连续，而 \(sum[x]\) 表示 \((1,2)\sim(x-1,x)\) 的答案，\(sum[y]\) 则表示 \((1,2)\sim(y-1,y)\) 的答案，两者相减就是 \((x,x+1)\sim(y-1,y)\) 的答案。

注意 \(lst[i]=i-1\) 时，区间会出现 \(x>y\) 的情况，此时注意与 \(0\) 取 \(\max\)。

时空复杂度都为 \(O(n)\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define V 1000010
#define N 200010
using namespace std;
int t,n,a[N],lst[V],f[N],g[N];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
	cin>>t;
	while(t--){
		memset(lst,0,sizeof lst);
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
		for(int i=2;i<=n;i++) g[i]=g[i-1]+a[i]*(a[i-1]==a[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			f[i]=f[i-1];
			if(lst[a[i]]){
				f[i]=max(f[i],f[lst[a[i]]+1]+a[i]+max(g[i-1]-g[lst[a[i]]+1],0ll));
			}
			lst[a[i]]=i;
		}
		cout<<f[n]<<"\n";
	}
	return 0;
}

第 \(19\) 行，PassName的题解用
f[i]=max(f[i],f[lst[a[i]]+1]+a[i]+g[i]-g[lst[a[i]]+1]);
代替了
f[i]=max(f[i],f[lst[a[i]]+1]+a[i]+max(g[i-1]-g[lst[a[i]]+1],0ll));
这样也是可以的，因为：

• 当 \(a[i]=a[i-1]\) 时，\(g[i]-g[lst[a[i]]+1]=g[i]-g[i]=0\)，而 \(g\) 是单调不降的，所以 \(g[i-1]-g[lst[a[i]]+1]\le 0\)，取\(\max\)后同样 \(=0\)。
• 当 \(a[i]\neq a[i-1]\) 时，又有 \(g[i]=g[i-1]\)，又 \((lst[a[i]]+1)\le (i-1)\)，所以 \(g[lst[a[i]]+1]\le g[i-1]\)，自然两式也相等。

感谢hanss6在此写法的理解上给我的帮助。