2026 ICPC Asia EC网络预选赛 - 第二场

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打得很烂很崩溃。我首先花25分钟才把签到写了，然后到 1:00 的时候两个队友各写了一个题。然后我把 D 题秒掉了，只不过交了若干发罚时，因为取模取少了导致中途爆 long long。这个教训可以记一下。后面长时间坐牢。cza 天神下凡把 I 做了，使得我们排名还看得过去。我一直在想 E 题怎么做，我打表找规律，找到一些神奇的东西，可惜最后差一步式子就可以想出来。

E

首先记 \(c_i\) 表示 \(ord_x=i\) 的 \(x\) 的个数，\(Ans=\sum i c_i\)，而很明显有 \(i|\varphi(n)\)。

我打表，记 \(F(i)=\sum_{d|i}c_i\)，发现这个 \(F(i)\) 有说法，发现是个不完全积性函数，所以准备从这里开始做文章。

\(c_i\) 可以根据 \(F(i)\) 莫反回去。有 \(c_i=\sum_{d|i} F(d)\mu(i/d)\)，带入 \(Ans\) 的式子有 \(Ans=\sum_{i|\varphi(n)} i\cdot \sum_{d|i}F(d)\mu(i/d)\)，交换求和顺序枚举 \(d\) 有 \(Ans=\sum_{d|\varphi(n)} F(d)\sum_{d|i,i|\varphi(n)}i\mu(i/d)\)。再提一个 \(d\) 出来得 \(Ans=\sum_{d|\varphi(n)}dF(d)\sum_{d|i,i|\varphi(n)}\mu(i/d)i/d\)，记 \(W(m)=\sum_{f|m}\mu(f)f\)，则 \(Ans=\sum_{d|\varphi(n)}dF(d)W(\varphi(n)/d)\)。

求 \(F(d)\)。\(F(d)\) 即方程 \(x^d\bmod n=1\) 的解的个数。有公式。$F(d)=\prod_{m\in M(n)} \gcd(d,m),M(n)={\varphi(q^b) : q^b||n, q 为奇数}\cup \bigcup_{2^b||n,b\ge 2}{2,2^{b-2}} $。

求 \(W(d)\)。因为 \(\mu (f)\neq 0\) 且 \(f|\varphi(n)\) 的 \(f\) 不多，所以直接枚举即可。

有没有其他的好点的做法求指点。感觉这个做法有点麻烦。code:https://qoj.ac/submission/2950577