2024.10.29 test

A

已知 \(n\) 边形的一个三角剖分,你可以进行若干次“城市建造”操作,可以选择三个点并新建一个点为这三个点的内心并连边。构造方案,使得城市建造次数最少,且新图可以划分为两棵树。

只需要进行一次城市建造操作,就可以使边数变为 \(2n\),点数为 \(n+1\),显然即可划分。
考虑取出一个三元环,要求有两条边是多边形边,操作后形成四个点的团,把这个团的边分配好。
对于外面的考虑每次删一个度数为 \(2\) 的点,两条边分属两棵树。类似拓扑排序。

B

\(n\) 个点排成一列,执行 \(q\) 次修改每次区间加,最后形成序列 \(A\)。在 \(i\) 点可以跳跃至 \(i+k\),贡献为 \(a_i\),或走向 \(i+1\),没有贡献,问从 \(1\)\(n\) 贡献最大多少。\(n,k\le 10^{12},q\le 2.5e5\)

离散化划分为若干个权值相同的段,贪心地,要么是取段的开头,要么是接在上一个跳 \(+k\)
所以对于每个段,只需要知道其左端点前 \(k\) 的位置的信息,以及往前信息的最大值即可。
考虑线段树维护所有同余 \(k\) 的信息,支持区间加,单点取 \(\max\) 即可。

C

一棵树,一开始 \(0\) 号点有病毒,每个点有人,每个人的活动范围是距离其不超过 \(p_i\) 的点。两个点活动范围有交集,就可以在有交集的地方传播病毒。每个点传播病毒的时间是 \(C_i\),问每个点被传播到的时间。

考虑点分治处理。对于分治中心,求出所有点到中心的距离,然后前缀优化建图即可。
这是一个套路题,可以与点分树联系起来。

D

一棵树边权为 \(1\),你可以通过若干次询问来找到所有的边,单次询问是询问 \(ask(u,S)\) 表示查询 \(u\)\(S\) 集合里所有点的距离之和。要求询问次数 \(\le 8500\)\(\sum |S|\le 3e5\)\(n\le 1000\)

一个想法就是每次找重心出来,然后做点分治。重心的性质就是到每个点的距离之和最短。
重心的儿子距离其为 \(1\),然后一个个点去确认其属于重心的哪个儿子。考虑用集合的二分去处理。
所以一层的询问次数是 \(O(n\log n)\),总共有 \(O(\log n)\) 层,总的为 \(O(n\log ^2n)\)\(\sum |S|\) 应是 \(O(n^2)\) 级别。
另一个想法就是定一个根然后一层一层确定两层之间的边。假设现在确定 \(A\)\(B\) 的边,\(A\) 是较浅的。
考虑把 \(A\) 随机对半分成两份为 \(A_1,A_2\)
考虑调用 \(ask(B_i,A_1),ask(B_i,A_2)\),那么 \(ask(B_i,A_{1/2})=ask(fa_{B_i},A_{1/2})+|A_{1/2}|\)
那么很显然我们可以按照 \(ask(fa_x,A_1)\) 的值分类,对于分在不同类的 \(B_i\),他们的父亲势必不同。
现在我们就考虑把父亲也分类,直接调用 \(ask(A_i,A_1)\) 分类即可。对于分的每一类考虑继续分治下去。
这个题充分考察了集合的二分,以及通过随机化来给分治划定标准。

posted @ 2024-10-29 20:32  s1monG  阅读(6)  评论(0编辑  收藏  举报