2024.2.20 近期练习

P4766 [CERC2014] Outer space invaders

不难发现时间的先后顺序是不重要的。所以把时间转化到数轴上。
数据范围提示区间 dp，设 \(f_{l,r}\) 表示 \([l,r]\) 时间里面全部消除的代价。
\(f_{l,r}=\max(f_{l,k}+f_{k,r}+d_{l,k,r})\)，其中 \(d_{l,k,r}\) 表示跨越 \(k\) 的，且在 \([l,r]\) 里最远的距离。
然而 \(d\) 的处理要四次方。
考虑钦定一个区间内距离最远的最后消除，\(O(n)\) 找到 \(id\)，
那么 \(f_{l,r}=\max(f_{l,k-1}+f_{k+1,r}+d_{id})\)，满足 \(k\) 在 \(id\) 这个区间里。
这种问题区间 dp，以及要学会钦定。

P5933 [清华集训2012] 串珠子

设 \(f_S\) 表示 \(S\) 任意连边的方案数，\(g_{S}\) 表示 \(S\) 点集联通的方案数。
考虑容斥，求出 \(h_S\) 表示 \(S\) 点集不合法的方案，\(g_S=f_S-h_S\).
我们对于 \(h_S\)，为了不重复，先随便取出一个点 \(p\)，枚举 \(p\) 所在连通块 \(P\)，设 \(T=C_SP\).
那么 \(h_s=\sum dp_P\times f_T\)，\(T\) 不能为空集。
这种问题经典容斥，类似枚举第一个非法。

P4198 楼房重建

我们要维护的是一个下凸壳，则每个点到原点的斜率递增。
线段树维护，我们假设现在线段树维护好了一些区间，如何去合并。
关于合并两个区间，首先要记录一个区间的最大斜率 \(Mx\) 和凸壳点的个数 \(len\)。
左边区间必选，我们现在要找右边的第一个斜率大于左边 \(Mx\) 的点，给它接上去。
线段树上二分。如果往右走，那么继续递归；往左走，加上右边的贡献，是 \(len_p-len_{ls}\).
经典线段树，即 merge 要带 \(\log\).

P5307 [COCI2018-2019#6] Mobitel

首先有朴素的状态 \(dp_{i,j,k}\) 表示到 \((i,j)\) 这个点，当前乘积是 \(k\) 的方案数，明显裂开。
考虑优化状态，\(dp_{i,j,k}\) 表示还要至少乘上 \(k\) 才能不小于 \(n\) 的方案数。
整除分块，\(k\) 的个数是 \(\sqrt n\) 级别的。
这种问题是优化了状态设计，运用到乘法的性质。

P3863 序列

由于是单点查询，考虑扫描线，滚下标这一维，顺便维护当前每个时间点的值。
考虑把修改差分，变成时间这一维区间修改。
我们要询问的，也就是区间排名，考虑分块完成即可。
这种问题要考虑变化维度，往往时间这一维是容易被忽视的。

P4921 [MtOI2018] 情侣？给我烧了！

钦定 \(f(k)\) 表示钦定 \(k\) 个满足条件的方案数，\(f(k)=C_n^kA_n^k2^k\)。
我们求 \(g(k)\) 表示恰好 \(k\) 个满足条件方案数，\(f(k)=\sum_{i=k}^ng(i)\times C_n^i\)，
那么反演，\(g(k)=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}C_i^kf(i)\).
组合数拆开，\(g(k)=\dfrac{2^k(n!)^2}{k!}\sum_{i=0}^{n-k}\dfrac{(-1)^i2^i(2n-2k-2i)!}{i!((n-k-i)!)^2}\).
我们预处理右边那个和式就行了。
注意钦定不是至少，钦定会重复。故 \(g(k)\neq f(k)-f(k+1)\).
这是二项式反演的经典，注意钦定不是至少。

P5439 【XR-2】永恒

先考虑 \([u,v]\) 这个点对的贡献，显然被计算了 \(siz_u\times siz_v\) 次。
若二者有祖先关系，钦定 \(u\) 为祖先，那么算了 \(siz_v\times (siz_{fa(u)}-siz_u)\) 次。
同时我们发现，字典树上 \(lca\) 深度就是 \(f(lcp)\) 的值。
逐个扫一遍，设目前维护了已经扫过的集合，新加入一个点计算贡献。
设 \(s_i\) 表示新加的点在字典树上从浅到深第 \(i\) 个点子树里扫过的点的贡献。
那么贡献为 \((s_1-s_2)+2(s_2-s_3)+3(s_3-s_4)...=\sum s\).
所以支持链加和链求和即可，树剖。
分祖先关系情况计算即可。
这个题就是扫描线罢了。

P5309 [Ynoi2011] 初始化

很显然是根号分治，若周期大于 \(\sqrt n\) 的，直接暴力修改，由于查询区间和，考虑分块。
若周期不大于 \(\sqrt n\)，就不能直接修改了。
对于单点，我们很容易可以枚举所有 \(\le \sqrt n\) 周期，计算贡献。然而区间查询呢？
我们可以对于每个周期的每个起始位置的贡献，用前后缀和维护，可以 \(O(1)\) 计算、
这个题是经典的根号分治。

P7503 「HMOI R1」文化课

一个很朴素的 dp，设 \(f_i\) 为以 \(i\) 结尾的答案，\(f_i=\max(f_{j-1}+w(j,i))\)，
其中 \(w_{j,i}\) 表示在 \([j,i]\) 举办作弊的效益。
我们递推 \(i\) 的时候，能否顺便地更新 \(w_{j,i}\) 呢？实际是很难的。
考虑正难则反，对于 \(j\)，计算其能对哪些 \(i\) 贡献。
我们考虑计算出对于一个点 \(i\)，其能起贡献的区间，这个可以二分 ST 表或树状数组。
然后扫描线，用线段树维护 \(w_{j,i}\)，只需要支持区间加、询问 \(\max\)。
这个题正难则反，转换，把填表法变成刷表法。

P8253 [NOI Online 2022 提高组] 如何正确地排序

一眼 min-max 容斥。
对于 \(m=4\) 的来说，\(\max_S+\min_S = (\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min_T)+\min_S\)，刚好消去 \(\min_S\)，
故 \(m=4\) 的可以转化为 \(m\le 3\) 的。然而 \(m=3\) 的无法再继续转化了，因为无法抵消。
\(m\le 2\) 的很显然，现在问题转化为 \(m=3\) 怎么做？我们把 \(\min,\max\) 先拆开，先计算 \(\max\)
钦定第一维的最大，那么 \(a_i+a_j\ge b_i+b_j,a_i+a_j\ge c_i+c_j\)。
故 \(a_i-b_i\ge b_j-a_j,a_i-c_i\ge c_j-a_j\)。二维数点即可。
这个题，经典 min-max 容斥，再转为偏序问题。

P7323 [WC2021] 括号路径

对于一个合法路径，势必有两个相邻的左右括号，我们从这里入手。
如果存在一个长度为 \(2\) 的合法路径 \((x\to z\to y)\)，那么 \(x,y\) 已经等价，可以直接合并。
考虑用并查集来处理，一直合并，直到不能再合并了。
并查集的典型运用，合并同类项，从小任务到大。

P6847 [CEOI2019] Magic Tree

考虑设计一个暴力的 dp。设 \(dp_{u,t}\) 表示在 \(t\) 秒割掉 \(u\to fa_u\) 的边的最大收益。
\(dp_{u,t}=w_u\times[d_u= t]+\sum \max_{k\le t} dp_{v,k}\).
设 \(f_{u,t}=\max_{k\le t} dp_{v,k}\)，那么，或 \(f_{u,t}=\max(\sum f_{v,t},w_u+\sum f_{v,d_u})\).
\(f\) 数组单调，且有若干连续段是相等的，维护断点。
然而有区间加操作，不如维护 \(f\) 的差分数组。用 map 启发式合并即可。
启发式合并，差分优化。

P5749 [IOI2019] 排列鞋子

考虑贪心，从左往右配对，每次取左边第一个没配对的，用最靠近它的移过来配对。set 维护。
已经配对的，可以删去。用树状数组维护前缀和来计算位置。
贪心，同时运用了删除不必要元素的思想。

P6186 [NOI Online #1 提高组] 冒泡排序

考虑冒泡排序的本质，就是从左到右每次找当前最大的，放到比这个数更大的位置前。
思考这与逆序对的关系，设 \(c_i\) 表示第 \(i\) 位与前面构成多少逆序对。
经过一轮的冒泡排序，\(c_i=\max(c_{i+1}-1,0)\)，我们稍微维护一下即可。
冒泡排序分析。

P2824 [HEOI2016/TJOI2016] 排序

普通排序很慢，考虑给 01 串排序，如果用线段树维护是 \(O(\log n)\) 的。
考虑二分 \(mid\)，把 \(\ge mid\) 的设为 \(1\)，否则设为 \(0\)，只需要看最后该位的取值。
单调性？基于比较的操作，故具有单调性。
神仙。基于比较考虑二分。

P3295 [SCOI2016] 萌萌哒

考虑暴力的 \(O(nm)\) 并查集，时间被浪费是因为合并了已经合并的点。
一眼线段树处理，拆分区间。但实现难度大，所以我们可以考虑上倍增。
倍增 \(f_{k,i}\) 表示 \([i,i+2^k-1]\) 的父亲，类似 ST 表那样去合并。
还有一种方法，线段树维护哈希二分出第一个没有合并的位置去合并。