2023.12.10 近期练习

CF1868C

首先想拆开每条路径的贡献。
对于一条路径，长度为 \(len\) 枚举最大值为 \(x\)，那么贡献是 \(x\times(x^{len}-(x-1)^{len})\times m^{n-len}\)。
其中 \(x^{len}-(x-1)^{len}\)，表示最大值小于等于 \(x\) 的方案数容斥掉最大值小于等于 \(x-1\) 的方案数。
如果我们知道所有长度为 \(len\) 的路径个数 \(Ans_{len}\)，那么就可以通过枚举最大值的方式来计算贡献。
现在只需求出 \(Ans\)，其中定义域大小为 \(O(\log n)\)。
在转移的时候，只需要记录 \(f_i,g_i\) 分别表示当前长度为 \(i\) 的路径条数；长度 \(i\) 到根的路径条数。
\(f_i=f_{ls,i}+f_{rs,i}+g_i+\sum_{j+k+1=i} g_{ls,j}\cdot g_{rs,k}\)
看似状态数为 \(O(n)\)，但是一个完全二叉树左右儿子至少有一个是满二叉树，所以实则只有 \(O(\log n)\)。
然后便做完了。
这种问题有关若干元素的贡献的和，应考虑拆贡献，找到相同性质的元素集合，并且独立计算。

CF1874B

先观察操作的性质，但是好像并没有发现什么性质。
\(2^{31}\) 太大，无法进行预处理。
但是，二进制操作想到了每位都是独立的。
把每位拆开来，设 \((a,b,m,c,d)\) 为当前位的状态，仔细观察到。
如果对于相同的 \((a,b,m)\)，\((c,d)\) 不同， 就不可能实现，因为操作都是整体的。
所以剩下的状态就少了 \((a,b,m)\) 有 \(8\) 种，\((c,d)\) 加上无限制有 \(5\) 种，总共状态只有 \(5^8=390625\)。
总共的状态很少，就考虑使用 BFS 完成。
BFS 方法是，设 \(a=(00001111)_2,b=(00110011)_2,m=(01010101)_2\)，这样囊括了所有情况。
初始状态为 \(c=a,d=b\)，然后更新 \((c,d)\) 而非 \((a,b)\)。
这种问题有关二进制，应考虑拆位，拆位后整体考虑。

CF1889C2

首先想，转化为覆盖面积最小，但是也没有发现什么。
所以设计一个 dp，设 \(f_{i,j}\) 表示考虑到第 \(i\) 位，已经删除了 \(j\) 条线段的最值。
如果硬要从 \(f_{i-1}\) 转移，是无法转移，因为不知道 \(i\) 位要空还要删几条线段。
所以设 \(f_{i,j}\) 表示上一次空的是在 \(i\)，已经删除了 \(j\) 条线段的最值，尝试后这样是方便转移的。
\(f_{i,j}=\max_{k=0}^{i-1}(1+f_{k,j-t})\)，其中 \(t\) 表示使得 \(i\) 变空还要删除几条线段。
由于 \(k\) 是空的，所以 \(k\) 上没有线段，如果一条线段越过 \(k,i\)，那么其已被删除，就可以不删。
所以 \(t\) 的值就是 \(i\) 上空线段的数量减去越过 \(k,i\) 线段的数量，发现 \(t\) 实则是递减的。
且 \(t\le 10\)，所以只会有 \(10\) 段，所以就变成一个 RMQ 的形式。
每个 \(j\) 都用 ST 表实现 RMQ，复杂度为 \(O(n\log n+100n)\)。
具体的，我们对于每个位置都维护当前越过它的线段有哪些，这个可以用扫描线实现。
有一个细节，就是当前位置上线段大于 \(10\) 就是不可能为空了的。
这种问题应该考虑合理的设计状态，另一方面是观察单调性。

CF1837F

一开始看错题了。
题意转化一下，寻找 \(i\)，使得 \([1,i]\) 中选 \(t\) 个数求和与 \([i+1,n]\) 中 \(k-t\) 个数和的 \(\max\) 最小。
最大值最小显然是二分答案，设二分的值是 \(mid\)，考虑枚举切点 \(i\)。
肯定是把小于 \(mid\) 的能选就选，从小到大选，只需要看最后选出是否不小于 \(k\) 个数即可。
考虑线段树上二分。然而常数过大，经启发可以换成树状数组上倍增。
复杂度 \(n\log n\log V\)。
这种问题应该学会使用树状数组代替线段树。

CF1860E

过于一眼。
由于对于一个组的点，要两两连接在一起，这时候不得不拿出一个经典套路：
建立虚点，边权 \(0.5\)，然后连向一个组的所有点。为方便将边权 \(\times2\)。
由于虚点非常少，只有 \(26^2=676\) 个，这启发我们对于每个虚点跑一遍 BFS。
对于每次询问来说，只需要遍历所有虚点，求强制经过这个点的最短路。
但是如果不经过虚点了呢？我们可以直接作差求绝对值求出不经过虚点的长度。
这样就做完了。关于边权是 \(1,2\) 的 BFS，我们考虑将 \(2\) 的拆成两个点就行了。
复杂度是 \(O(676(n+q))\)。
这种问题考虑优化建图，即虚点的使用。