2023.10.6 若干杂题

P1552 [APIO2012] 派遣

每个点作为管理者，只需要计算其子树内，最多有多少个人加起来不大于 \(M\)，考虑维护前 \(k\) 小的元素。
可以使用左偏树合并。
然而其实可以平衡树合并，每次在平衡树上二分。

P2685 [TJOI2012] 桥

首先，Boss 镇守的桥一定是最短路上的边，使得我们不得不改变线路。
考虑对于每条非最短路的路径，如果走了这条，是哪些边可能被短掉了？
对于每条边，计算强制经过这条边的最短路。
再维护 \(L_u\) 表示 \(u\)，从 \(1\) 开始走最短路到 \(u\)，最多与 \(1\to n\) 的最短路重合到第几个点。
\(R_u\) 表示从 \(n\) 开始，同理。
\(L_u,R_u\) 可以用 BFS 维护。
那么 \([L_u,R_u]\) 这个区间里的边被断掉，就可能走这条路。考虑区间求 \(\min\) 用线段树维护。

P3160 [CQOI2012] 局部极小值

考虑从小到大加入数，如果一个点是局部极小值，那么在其加入之前不能周围有数。
发现局部最小值的位置也最多 \(8\) 个，可以对其状压 dp，维护的是当前放了多少数，有哪些局部最小值被放了。
但是我们这样求的话，不能保证一个非局部极小值的点不是局部最小。
可以容斥，设当前有 \(x\) 个局部最小值，那么减去 \(x+1\) 方案数，加回 \(x+2\) 方案数......
\(x+1\) 加的位置可以随便填，反正都是要减去。
后面同理。考虑 dfs 求出所有方案。

P1446 [HNOI2008] Cards

这个非常显然的 Burnside 引理啊，考虑求每种置换的不动方案数。
考虑设计一个 dp，先求出所有循环的大小，\(dp_{i,j,k}\) 表示三种颜色分别填了 \(i,j,k\) 种，
设当前考虑循环大小是 \(s\)，那么 \(dp_{i,j,k}=dp_{i-s,j,k}+dp_{i,j-s,k}+dp_{i,j,k-s}\).
一个循环只能填一种颜色。
注意所有点不动也是一种置换。

P3631 [APIO2011] 方格染色

由于 \(2\times 2\) 的异或值是已知的，不断扩展，发现对于所有点，
\(a_{1,1}\otimes a_{x,1}\otimes a_{1,y}\otimes a_{x,y}\) 也是已知的。
我们枚举 \(a_{1,1}\) 的值，对于一个信息 \(a_{x,y}=t\)，\(a_{x,1}\otimes a_{1,y}=t\otimes a_{1,1}\).
那么 \(a_{x,1},a_{1,y}\) 的等量关系已知，等于或不等。
我们直接上带权并查集，如果有矛盾的就返回 \(0\)。
如果不矛盾，连通块是 \(s\) 个，方案就是 \(2^{s-1}\)，因为 \(a_{1,1}\) 也属于一个联通块。

P1450 [HAOI2008] 硬币购物

如果每一次询问都求一次背包，那么时间太大了。
考虑先求出不限制硬币数量的方案数。
考虑容斥，询问 \(d_1,d_2,d_3,d_4\) 的话。
我们钦定已经选了 \(d_i+1\) 枚硬币了，那么方案数是 \(dp_{m-c_i(d_i-1)}\)，要减去。
注意每种硬币都减是算重复了的，所以再次容斥原理，把同时选超两枚硬币的方案加回来，等。。。

P4448 [AHOI2018初中组] 球球的排列

发现若 \(a_i\cdot a_j\) 是平方数，\(a_i\cdot a_k\) 是平方数，那么 \(a_i\cdot a_k\) 也是平方数。
所以问题变成了：每个小球有颜色，相邻的小球颜色不同，问方案数。
我们可以一个一个颜色插入进去，
可以设一个状态 \(f_{i,j,k}\) 表示当前考虑前 \(i\) 个球，之前颜色同色相邻的有 \(j\) 对，当前颜色同色相邻的有 \(k\) 对。
如果当前颜色已经插了 \(p\) 中颜色进去了，
若 \(j,k\) 不变，那么插入的肯定不是同色相邻之间，有 \(i-j-(2(p-1)-k)\) 个位置。
若 \(j+1\to j\)，那么插入了之前同色相邻间，有 \(j\) 个位置。
若 \(k\to k+1\)，那么插入了当前同色球的旁边，就是 \(2(p-1)-k\) 个位置。
注意一个颜色处理完后，\(f_{i,j,k}\to f_{i,j+k,0}\).

P2154 [SDOI2009] 虔诚的墓主人

首先离散化。
考虑扫描线，只需处理每行相邻两个树之间的墓地的方案。
设当前处理 \((x,u),(x,v)\) 之间的方案。
首先行的贡献是 \(C(cntl,k)\cdot C(cntr,k)\)，其中 \(cntl,cntr\) 分别是左边，右边有多少树，这是已知。
那么只需处理 \([u+1,v+1]\) 之间的贡献，只需树状数组，每个位置维护 \(C(cntu,k)\cdot C(cntd,k)\)，
其中 \(cntu,cntd\) 是上面，下面有多少数，处理完每行，把这行的所有点所在列更新即可。

P5038 [SCOI2012] 奇怪的游戏

考虑黑白染色，因为黑白两色被操作次数相等。
若黑色有 \(c_1\)，权值是 \(s_1\)，白色有 \(c_2\)，权值是 \(s_2\)，
若最后的值是 \(x\)，那么有 \(c_1x-s_1=c_2x-s_2\)，则 \((c_1-c_2)x=s_1-s_2\)。
若 \(c_1=c_2\)，那么若 \(s_1\neq s_2\) 就无解。否则，二分 \(x\) 并网络流判断。
若 \(c_1\neq c_2\)，直接算出 \(x\)，并网络流判断。

P3350 [ZJOI2016] 旅行者

及其地套路，考虑分治，每次选一列并把跨越这列的询问处理。