2023.8.6 AT practise

ARC058D

首先有一个 \(n\times m\) 的矩阵，从左上走到右下的方案数是 \(C_{n+m-2}^{n-1}\).
考虑把原图切分成两个矩阵。（左上和右整边）
计算出走到左上角的矩阵边上每个点的方案数，再乘上这个点走到右下的方案数，求和即可。

ARC058E

发现题目条件中有“存在”字眼，非常容易重复计数，所以我们考虑反面。
总方案数是 \(10^n\)，再减去完全不满足条件的即为答案。

看见 \(x+y+z\le 17\) 考虑状压。
设 \(f(n,S)\) 表示已经考虑到 \(n\) 位，状态为 \(S\) 的方案数、
我们如何表示这个 \(S\) 呢？
我们首先想到可以把每个位置的数都在 \(s\) 中表示出来，但可惜数字可以重复，就不能表示。
所以我们可以把 \(S\) 表示为以 \(i\) 结束每个区间的和，可以用二进制表示。
这样如何这个和中同时出现了 \(z,y+z,x+y+z\)，就要排除掉。

那么如何转移呢？假设现在加入第 \(i\) 位的数为 \(d\)，\(i-1\) 的状态为 \(s\).
新的状态是把 \(s\) 二进制下左移 \(d\) 位，再把第 \(d\) 位设成 \(1\) 即可。
最后减去 \(f(n,s)\),\(s\) 要合法。

ARC059E

看到很多求和被震慑住了。

考虑 dp，设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 位总共发了 \(j\) 颗糖果。
\(f_{i,j}=\sum f_{i-1,k}\cdot (\sum_{t=A_i}^{B_i}t^{k-j})\)，最后一项预处理即可。

ARC059F

发现对于任意的字符串都是等可能的，所以我们总方案除以 \(2^{len}\) 即可。
设 \(f_{i,j}\) 表示打字打了 \(i\) 次，打印出 \(j\) 位。
\(f_{i,j+1}\leftarrow f_{i-1,j}\cdot 2\). 这是新打了一位。
\(f_{i,\max(0,j-1)}\leftarrow f_{i-1,j}\).这是删除了一位。