树状数组

树状数组

一种可以单点修改，查询前缀和的数据结构。
每次操作\(O(\log n)\)

void Modify(int x,int k) {
	for(; x<=n; x+=x&(-x)) t[x]+=k;
}
int Query(int x) {
	int res=0;
	for(; x; x-=x&(-x)) res+=t[x];
	return res;
}

可以使用差分树状数组。
也可以查询逆序对：建立值域树状数组，即每一次插入一个数\(a_i\)，查询前缀和就是前面比他小的数，\(i-Query(a_i)\)即为比他大的数。
所有答案之和即为答案。

P1966 [NOIP2013 提高组] 火柴排队

有\(a\)数组和\(b\)数组存放火柴。
排序不等式：即让所有大小排名相等的或火柴互相对应。
\(a_i\)排名\(ra_i\)，理应排到\(rb_i\)那里。
有q【ra_i的原排名】=rb_i的原排名。
计算q数组的逆序对即可。
q数组的意义是\(a_i\)应移动到\(q_{a_i}\).

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e5,MOD=1e8-3;
int n,n1,n2,ra[MAXN+10],rb[MAXN+10],q[MAXN+10];
int c[MAXN+10];
ll ans;
struct node {
	int id,val;
} a[MAXN+10],b[MAXN+10];
bool cmp(node x,node y) {
	if(x.val==y.val) return x.id<y.id;
	return x.val<y.val;
}
ll Query(int x) {
	ll ans=0;
	for(; x; x-=x&(-x)) ans+=c[x];
	return ans;
}
void Modify(int x) {
	for(; x<=n; x+=x&(-x)) c[x]+=1;
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		scanf("%d",&a[i].val);
		a[i].id=i;
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		scanf("%d",&b[i].val);
		b[i].id=i;
	}
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	sort(b+1,b+1+n,cmp);
	for(int i=1; i<=n; i++) q[a[i].id]=b[i].id;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		Modify(q[i]);
		ans=ans+(i-Query(q[i]))%MOD;
	}
	printf("%lld\n",ans%MOD);
	return 0;
}

P3605 [USACO17JAN]Promotion Counting P

求子树比父亲大的节点数。
dfs。
用回溯dfs时候的比他大的数减去没回溯时候的比他大的数。\(O(\log n)\)
每个数存进树状数组。

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=3e5;
int n,p[MAXN+10],rk[MAXN+10],ans[MAXN+10];
int head[MAXN+10],ver[MAXN+10],nxt[MAXN+10],tot;
int t[MAXN+10];
bool cmp(int x,int y) {
	return p[x]<p[y];
}
void Addedge(int x,int y) {
	ver[++tot]=y;
	nxt[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
}
void Modify(int x,int k) {
	for(; x<=n; x+=x&(-x)) t[x]+=k;
}
int Query(int x) {
	int res=0;
	for(; x; x-=x&(-x)) res+=t[x];
	return res;
}
void dfs(int u) {
	ans[u]-=Query(n)-Query(p[u]);
	for(int i=head[u]; i; i=nxt[i]) dfs(ver[i]);
	ans[u]+=Query(n)-Query(p[u]);
	Modify(p[u],1);
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		scanf("%d",&p[i]);
		rk[i]=i;
	}
	sort(rk+1,rk+1+n,cmp);
	for(int i=1; i<=n; i++) p[rk[i]]=i;
	for(int i=2,f; i<=n; i++) {
		scanf("%d",&f);
		Addedge(f,i);
	}
	dfs(1);
	for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}

P1972 [SDOI2009]HH的项链

离线树状数组。
现将所有的询问按照右端点排序。
因为对所有同颜色的贝壳，只有最后边的有用，前面的就没用了。
对于一个贝壳颜色\(c\)，删除前面那个同颜色的，在这个位置插入新的。此处用树状数组。
树状数组维护的是前缀中颜色不同的贝壳的个数。

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=1e6;
int n,m,a[MAXN+10],c[MAXN+10],ans[MAXN+10],prev[MAXN+10];
struct node {
	int l,r,id;
} q[MAXN+10];
bool cmp(node x,node y) {
	return x.r<y.r;
}
void Modify(int x,int k) {
	for(; x<=n; x+=x&(-x)) c[x]+=k;
}
int Query(int x) {
	int res=0;
	for(; x; x-=x&(-x)) res+=c[x];
	return res;
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
		q[i].id=i;
	}
	sort(q+1,q+1+m,cmp);
	for(int i=1,k=1; i<=m; i++) {
		for(int j=k; j<=q[i].r; j++) {
			if(prev[a[j]]) {
				Modify(prev[a[j]],-1);
			}
			prev[a[j]]=j;
			Modify(j,1);
		}
		k=q[i].r+1;
		ans[q[i].id]=Query(q[i].r)-Query(q[i].l-1);
	}
	for(int i=1; i<=m; i++) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}

P4113 [HEOI2012]采花

同上一题。
求一段区间出现超过2次的颜色个数。
储存前第二个同颜色的花的位置。
因为只有前第二个才有贡献。
包括前第二个的就超过两次了，不包括就只有1个或0个

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=2e6;
int n,c,m,a[MAXN+10],prev[2][MAXN+10],ans[MAXN+10];
int t[MAXN+10]; //prev[1]是前第二个
struct node {
	int l,r,id;
} q[MAXN+10];
bool cmp(node x,node y) {
	return x.r<y.r;
}
void Modify(int x,int k) {
	for(; x<=n; x+=x&(-x)) t[x]+=k;
}
int Query(int x) {
	int res=0;
	for(; x; x-=x&(-x)) res+=t[x];
	return res;
}
int main() {
	scanf("%d%d%d",&n,&c,&m);
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
		q[i].id=i;
	}
	sort(q+1,q+1+m,cmp);
	for(int i=1,k=1; i<=m; i++) {
		for(int j=k; j<=q[i].r; j++) {
			if(prev[0][a[j]]) {
				if(prev[1][a[j]]) Modify(prev[1][a[j]],-1);
				Modify(prev[0][a[j]],1);
			}
			prev[1][a[j]]=prev[0][a[j]];
			prev[0][a[j]]=j;
		}
		k=q[i].r+1;
		ans[q[i].id]=Query(q[i].r)-Query(q[i].l-1);
	}
	for(int i=1; i<=m; i++) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}

P4054 [JSOI2009]计数问题

二维树状数组。

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=300,MAXC=100;
int n,m,q,t[MAXN+10][MAXN+10][MAXC+10],colr[MAXN+10][MAXN+10];
void Modify(int x,int y,int k,int c) {
	for(int i=x; i<=n; i+=i&(-i))
		for(int j=y; j<=m; j+=j&(-j))
			t[i][j][c]+=k;
}
int Query(int x,int y,int c) {
	int ans=0;
	for(int i=x; i; i-=i&(-i))
		for(int j=y; j; j-=j&(-j))
			ans+=t[i][j][c];
	return ans;
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=1,c; j<=m; j++) {
			scanf("%d",&c);
			colr[i][j]=c;
			Modify(i,j,1,c);
		}
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1,opt,lx,rx,ly,ry,c; i<=q; i++) {
		scanf("%d",&opt);
		if(opt==1) {
			scanf("%d%d%d",&lx,&ly,&c);
			Modify(lx,ly,-1,colr[lx][ly]);
			colr[lx][ly]=c;
			Modify(lx,ly,1,c);
		} else {
			scanf("%d%d%d%d%d",&lx,&rx,&ly,&ry,&c);
			printf("%d\n",Query(rx,ry,c)-Query(lx-1,ry,c)-Query(rx,ly-1,c)+Query(lx-1,ly-1,c));
		}
	}
	return 0;
}

例题

一个由小写字母构成的字符串A，长度为len。如果有其中一个元素出现的次数大于\(\left\lfloor \frac{len}{2} \right\rfloor\)，那么该元素就是数组A的主元素，显然数组A最多只有1个主元素，如果数组A有主元素，那么被称为“优美的”。

对于字符串B，求他的子串中“优美的”个数。
得知，“优美的”数组超过一半部分由一个字母构成。分类讨论每一个字母，加和即可得到答案。
对于原字符串，构建一个数组，若每个元素为所讨论的字母，设为1。否则，设为-1。求出前缀和sum数组。
对于子串元素s~t，若为优美的，即\(sum_{t}-sum_{s-1}>0\)。
所以\(sum_{t}>sum_{s-1}\)，如同求解逆序对，运用树状数组求解个数即可。