迭代函数xₙ₊₁=f(xₙ)的求解问题
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迭代函数求极限——递推数列求极限
什么是迭代函数(套娃函数)？
设一个函数\(x_{k+1}=f(x_k)\)，这个函数就是一个迭代函数，\(\{x_k\}\)被称为迭代序列(路径)。
迭代函数与数列有什么关系？
拥有递归式的数列可以连续化为迭代函数。
数形结合百般好
一般只对定义域内单调增的函数研究，其本质问题是求解\(x=f(x)\)，通过给定一个初始值，然后不断迭代，直到解的附近终止迭代，终止条件为\(\Delta x\le\mu\)。
很显然，当\(\Psi(x)\lt x\)的时候，迭代数列会越来越远离交点。但是我们不难发现，如果在下面还有一个交点，那么这个数列定会收敛至那个交点；如果初始值在交点右方，那么也只会收敛于上方的交点。这种初始点在\(y=x\)下方向下收敛，初始点在\(y=x\)上方的向上收敛的情况，一般我们戏称为
贫者愈穷，富者愈富。如何对单调数列定界(小结)？
由于
贫者愈穷，富者愈富性质，所以我们就能知道收敛区间在哪了，分下面种情况讨论：
有两不同交点\(A_1\lt A_2\)：收敛区间在\((A_1，A_2)\)：
- 如果是凸函数：\(【[A_1]，[A_2]】+1\)，也就是将其
向上取整；- 如果是凹函数：\(【[A_1]，[A_2]】\)，也就是将其
向下取整；【注】考虑到数归只要证明数列有界，所以我们需要简化界限，故而取整。
有两个相同的交点\(A\)，一般这种情况属于\(y=\Psi(x)\)与\(y=x\)相切，分为两种情况：
- 如果是\(\Psi(x)\ge x\)（凸函数）：收敛区间为\((-\infty，A]\)；
- 如果是\(\Psi(x)\ge x\)（凹函数）：收敛区间为\([A，+\infty)\)；
【注】这里不对\(A\)取整是因为一旦超过了\(A\)，数列将立即发散。
只有一个交点\(A\)，\(y=\Psi(x)\)一般分为上穿和下穿\(y=x\)：
- 如果是上穿，则有\((-\infty，A]\)区域在下方，\([A，+\infty)\)区域在上方，永远不收敛，这时收敛区域是
空集；- 如果是下穿，则有\((-\infty，A]\)区域在上方，\([A，+\infty)\)区域在下方，必收敛于\(A\)，这时收敛区域是
全集；
张宇22数学-强化阶段-第2讲_数列极限-02
时间戳：41:30；
