通过构造迭代函数证明数列的单调性

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通过构造迭代函数证明数列的单调性

通过递归公式\(x_{k+1}=f(x_k)\)得出迭代函数\(y=f(x)\)，然后对其在定义域内求导(如果定义域已知的话)，观察其在定义域内是否恒大于0。

  1. 如果\(f^{(1)}(x)\gt0\)恒成立

    1. 如果此时\(x_2\gt x_1\)，根据\(x_2=f(x_1)\)，\(x_3=f(x_2)\)，然后结合是单调增函数可知\(f(x_2)\gt f(x_1)\)，即有\(x_3 \gt x_2\)。根据数学归纳法不难证出\(\{x_n\}\)是单调递增数列；
    2. 如果此时\(x_2\lt x_1\)，根据\(x_2=f(x_1)\)，\(x_3=f(x_2)\)，然后结合是单调增函数可知\(f(x_2)\lt f(x_1)\)，即有\(x_3 \lt x_2\)。根据数学归纳法不难证出\(\{x_n\}\)是单调递减数列；

  2. 如果存在\(f^{(1)}(x)\lt0\)

    1. 如果此时\(x_2\gt x_1\)，根据\(x_2=f(x_1)\)，\(x_3=f(x_2)\)，然后结合是单调减函数可知\(f(x_2)\lt f(x_1)\)，即有\(x_3 \lt x_2\)。这是一个左右横跳的数列，不单调；
    2. 如果此时\(x_2\lt x_1\)，根据\(x_2=f(x_1)\)，\(x_3=f(x_2)\)，然后结合是单调减函数可知\(f(x_2)\gt f(x_1)\)，即有\(x_3 \gt x_2\)。这是一个左右横跳的数列，不单调；

张宇22数学-月度加餐-11月_数列极限
时间戳：29:55；
(YaoDeSiLiao)

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posted @ 2021-06-07 10:01  BNTU  阅读(745)  评论(0)    收藏  举报