通过构造迭代函数证明数列的单调性
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通过构造迭代函数证明数列的单调性
通过递归公式\(x_{k+1}=f(x_k)\)得出迭代函数\(y=f(x)\)，然后对其在定义域内求导(如果定义域已知的话)，观察其在定义域内是否恒大于0。
如果\(f^{(1)}(x)\gt0\)恒成立
- 如果此时\(x_2\gt x_1\)，根据\(x_2=f(x_1)\)，\(x_3=f(x_2)\)，然后结合是
单调增函数可知\(f(x_2)\gt f(x_1)\)，即有\(x_3 \gt x_2\)。根据数学归纳法不难证出\(\{x_n\}\)是单调递增数列；- 如果此时\(x_2\lt x_1\)，根据\(x_2=f(x_1)\)，\(x_3=f(x_2)\)，然后结合是
单调增函数可知\(f(x_2)\lt f(x_1)\)，即有\(x_3 \lt x_2\)。根据数学归纳法不难证出\(\{x_n\}\)是单调递减数列；如果存在\(f^{(1)}(x)\lt0\)
- 如果此时\(x_2\gt x_1\)，根据\(x_2=f(x_1)\)，\(x_3=f(x_2)\)，然后结合是
单调减函数可知\(f(x_2)\lt f(x_1)\)，即有\(x_3 \lt x_2\)。这是一个左右横跳的数列，不单调；- 如果此时\(x_2\lt x_1\)，根据\(x_2=f(x_1)\)，\(x_3=f(x_2)\)，然后结合是
单调减函数可知\(f(x_2)\gt f(x_1)\)，即有\(x_3 \gt x_2\)。这是一个左右横跳的数列，不单调；
张宇22数学-月度加餐-11月_数列极限
时间戳：29:55；
(YaoDeSiLiao)
