CF1392H ZS Shuffles Cards 自学式题解

概率好题，很有学习价值。

拆式子

JOKER 牌有很明显的划分作用，它的出现把抽牌切成了一个个独立的轮次。

我们设有无限轮，其中前 \(N\) 轮是有效的（即游戏未结束）。设 \(I_i\) 为第 \(i\) 轮是否是有效的，\(X_i\) 为第 \(i\) 轮的抽牌数，则总抽牌数为：

\[\sum_{i=1}^{\infin}I_iX_i \]

套上期望：

\[E\bigg(\sum_{i=1}^{\infin}I_iX_i\bigg)=\sum_{i=1}^{\infin}E\Big(I_iX_i\Big) \]

我们发现 \(I_i\) 和 \(X_i\) 互不影响，是独立的，而且每一轮抽牌数也各自独立，则等价于：

\[\sum_{i=1}^{\infin}E\Big(I_iX_i\Big)=E(X)\sum_{i=1}^{\infin}E(I_i) \]

由于 \(I_i\in\{0,1\}\)，它的期望就是它的概率。有效的概率，就是 \(P(N\geq i)\)。而根据等式 \(\sum_{i=1}^{\infin}P(N\geq i)=E(N)\)，我们就成功拆成两个简单部分：

\[E(X)·E(N) \]

计算 \(E(X)\)

设 \(x_i\) 表示标号为 \(i\) 的牌对抽牌数的贡献（在抽到 JOKER 之前就是 \(1\)，否则为 \(0\)），套上期望后根据期望的线性性质拆开，再因为只有 \(0\)、\(1\) 两种取值等价于概率，我们得到：

\[E(X)=\sum_{i=1}^{n}E(x_i)+1=\sum_{i=1}^{n}P(x_i=1)+1=nP(x=1)+1 \]

加一是因为还要抽一张 JOKER。

\(P(x=1)\) 是好算的，对于一副完整的牌，\(m\) 张 JOKER 将牌序列划分为 \(m+1\) 份，那么在第一份的概率就是 \(\frac{1}{m+1}\)，所以：

\[E(X)=\frac{n}{m+1}+1 \]

计算 \(E(N)\)

我们考虑抽到的牌对轮次的影响。如果抽到 JOKER，轮次 \(+1\)；如果抽到一张之前没抽到过的数字牌，还需要抽的新牌 \(-1\)；如果抽到之前抽到过的，没有影响。

考虑期望 dp。设 \(f_i\) 为还剩下 \(i\) 张新牌要抽时的期望轮次数，有转移：

\[f_{i}=\frac{i}{i+m}f_{i-1}+\frac{m}{i+m}(f_{i}+1) \]

解方程后得到 \(f_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{m}{i}\)。

但抽完之后还必须到再抽到一张 JOKER 才算结束，所以要加一：

\[E(N)=\sum_{i=1}^{n}\frac{m}{i}+1 \]

所以答案就是：

\[E=\bigg(\sum_{i=1}^{n}\frac{m}{i}+1\bigg)\bigg(\frac{n}{m+1}+1\bigg) \]