CF2187D 自学式题解

神题，写篇题解学习一下。

学习 大犇的题解。

显然 \(c_i\) 一定能写成 \(a_ix+b_iy\) 的形式，考虑操作会对两部分有什么影响：

• 如果 \(r_i=0\)，那么 \(a_i=a_{i-1}+1\)。
• 如果 \(r_i=1\)，那么 \(a_i=-a_{i-1},b_i=1-b_{i-1}\)。

所以 \(b_i \in [0,1]\)。

对 \(a_i,b_i\) 分开考虑，\(f(r)=\sum_{i=1}^{n}a_ix+b_iy=x\sum_{i=1}^{n}a_i+y\sum_{i=1}^{n}b_i\)，\(b_i\) 对 \(f(r)\) 的贡献是好算的，我们只需要知道 \(1\) 到 \(i\) 中 \(r_i=1\) 的个数的奇偶性就可以了。

而 \(a_i\)​ 比较困难，简直就是神中神，画个图。

虚线表示水平或竖直辅助线，粉色和蓝色颜色内部互相抵消，和为 \(0\)。直接考虑 \(\sum_{j=1}^{i}a_j\) 不好考虑，可以发现，\(\sum_{j=1}^{i}a_j\) 只由绿色线段部分决定，设绿色线段尾部高度为 \(h_i\)，则有 \(\sum_{j=1}^{i}a_j=\frac{h_i(h_i+1)}{2}\)，于是我们再考虑这个 \(h_i\) 的变化。

（动态地想一想 \(h_i\) 随 \(i\) 增大的变化，就像一条区在伸缩）

\(\sum_{j=1}^{i} a_j\not=0\) 时转折点一定有 \(r_i=1\)，等于 \(0\) 无所谓，取反没有用。

线段的斜率都是 \(1\) 或 \(-1\)​，那么怎么求绿色线段尾端的高度呢？这就很天才了，把红色蓝色抵消的部分去掉，剩下的部分的横坐标等于纵坐标，不就是答案了吗？

（如果在 \(\sum_{j=1}^{i} a_j=0\) 时来一大段 \(1\) 怎么办？其实这也是一样的，自行画图）

于是我们可以设计出状态：设 \(dp_{i,j,0/1}\) 为前 \(i\) 个元素有 \(j\) 个 \(i\) 满足 \(\sum_{j=1}^{i} r_j\) 为奇数，\(r_i=1\) 的数量是否为奇数时是否是可行的。计算答案的时候，\(n-2j\) 就是 \(h_n\)，\(j\) 就是 \(\sum_{k}^{n} b_k\)，转移显然。

代码就不用放了吧（）