洛谷P9869 [NOIP2023] 三值逻辑 题解

由于全是赋值操作，我们容易发现每个值最终状态所依赖的都是某个确定的状态（\(T\)、\(F\)、\(U\)），或者是某个位置的初始值。于是先 \(O(m)\) 预处理每个 \(x_i\) 的最终状态来源 \(p_i\)，即 \(x_i\) 的值依赖于 \(x_{p_i}\)，以及它们的关系 \(r_i\)，\(0\) 表示相等，\(1\) 表示取反。

考虑图论建模，无向边 \((i,p_i)\) 表示 \(i\) 和 \(p_i\) 是取反的关系。

如果 \(r_i=0\) 就并查集缩这两个点（为了保持图中的边全是取反意义），取反则连无向边。特别的，如果 \(i\) 的值依赖一个确定的值，建三个特殊点 \(T\)、\(F\)、\(U\) 连单向边向 \(i\)，表示支配关系，答案计入 \(U\) 支配的联通块中点数，和不被任何一个特殊点支配的、且存在奇环的联通块中的点数。

可能的疑问

1. 为什么是奇环？

若联通块中存在奇环，根据我们这个图的边的定义，它一定会得出自己是自己的取反这种显然错误的结论。

2. 为什么不用管 \(T\)、\(F\) 中的联通块？

联通块里所有的点的状态都会被他们的源点——特殊点所确定，题目保证方案存在，所以不用管这里是不是有冲突。

code

#include <bits/stdc++.h>
#define int int64_t
//#define int __int128
//#define MOD (1000000007)
//#define eps (1e-6)
#define endl '\n'
#define debug_endl cout<<endl;
#define debug cout<<"debug"<<endl;
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;
int c,t,n,m,ans;
int p[MAXN],r[MAXN];
int fa[MAXN];
set<int> g[MAXN];
bool vised[MAXN];
int dep[MAXN],cnt[MAXN];
inline int find(int x){
	if(fa[x]==x){
		return x;
	}
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y){
	int fx=find(x);
	int fy=find(y);
	if(fx!=fy){
		fa[fy]=fx;
		cnt[fx]+=cnt[fy];
	}
}
pair<int,int> dfs(int x){
	pair<int,int> res(0,cnt[x]);
	vised[x]=true;
	for(int v:g[x]){
		if(vised[v]){
			if(((dep[x]-dep[v])&1)==0){
				res.first=1;
			}
		}
		else{
			dep[v]=dep[x]+1;
			auto [f,w]=dfs(v);
			res.first|=f;
			res.second+=w;
		}
	}
	return res;
}
signed main(){
	//freopen("P9869_3.in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>c>>t;
	while(t--){
		cin>>n>>m;
		ans=0;
		for(int i=1;i<=n+3;++i){
			p[i]=i;
			r[i]=0;
			fa[i]=i;
			vised[i]=false;
			cnt[i]=1;
			g[i].clear();
			dep[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<=m;++i){
			char c;
			int u,v;
			cin>>c;
			if(c=='-'){
				cin>>u>>v;
				p[u]=p[v];
				r[u]=r[v]^1;
			}
			else if(c=='+'){
				cin>>u>>v;
				p[u]=p[v];
				r[u]=r[v];
			}
			else if(c=='T'){
				cin>>u;
				p[u]=n+1;
				r[u]=0;
			}
			else  if(c=='F'){
				cin>>u;
				p[u]=n+2;
				r[u]=0;
			}
			else{
				cin>>u;
				p[u]=n+3;
				r[u]=0;
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(!r[i]&&p[i]<=n){
				merge(i,p[i]);
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(p[i]>n){
				g[p[i]].emplace(find(i));
				continue;
			}
			if(r[i]){
				g[find(i)].emplace(find(p[i]));
				g[find(p[i])].emplace(find(i));
			}
		}
		ans+=dfs(n+3).second-1;
		dfs(n+2);
		dfs(n+1);
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(vised[find(i)]) continue;
			auto [f,w]=dfs(find(i));
			ans+=f*w;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}