(数学)好玩但没啥用的解题方法(1)

\[a\geq 0，b\geq 0，a+b=1，求\sqrt{a}+\sqrt{b}的最大与最小值 \]

设 \(x=\sqrt{a},y=\sqrt{b}\) ，则\(a+b=1<=>x^2+y^2=1\)，是一个单位圆，而 \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=x+y\) 。

容易注意到 \(x+y\) 为 \((0,0)\) 到 \((x,y)\) 的曼哈顿距离。

众所周知曼哈顿距离有个性质：与某点等曼哈顿距离的点集为斜 \(45°\) 的正方形。

因此问题转化为设直线 \(y=-x+b\) ，要求其必须与 \(\frac{1}{4}\) 圆相交或相切，求 \(b\) 的最大最小值。

显然 \(1\leq b\leq \sqrt{2}\)​。

（其实曼哈顿距离只是思路的引子，没有什么必要性）

（感觉有 \(n\) 个大手子会不知道曼哈顿距离以及其性质直接构造直线）