答应你们写的gongsh .

一些前置公式

如果我写 \(\sqrt{n}\ge\frac ab\)，可以直接用平方比较，就不用额外解释了。

\(\pi\) 的上下界用 Chudnovsky 公式的变种，左转喵喵喵 XII。可以计算出这些下界：

\[\frac{640}{789}\sqrt{15}\\\;\\ \frac{1760}{10177}\sqrt{330}\\\;\\ \frac{426880}{13591409}\sqrt{10005} \]

以及两个上界 \(\frac{9801}{4412}\sqrt{2}\) 和 \(\frac{355}{113}\)。

\(e\) 的上下界是 \(\sum_{i=0}^n\frac1{i!}<e<\frac1{n!\times n}\sum_{i=0}^n\frac1{i!}\)。

Problem 1.

\(\sqrt2+\sqrt3\) vs \(\pi\)

通过连分数知道 \(\sqrt2+\sqrt3>\frac{22}7\)。而 \(\pi<\frac{22}7\) 是小学常识。可以得到 \(\sqrt2+\sqrt3>\pi\)。

Problem 2.

\(\pi^3\) vs \(31\)

使用第一个下界，可以得到左边大于 \(\frac{1310720000}{163723023}\sqrt{15}\)。使用连分数知道 \(\sqrt{15}>\frac{213}{55}\)。这样可以得到左边大于 \(\frac{18612224000}{600317751}>31\)。可以得到 \(\pi^3>31\)。

Problem 3.

\(\pi^4+\pi^5\) vs \(\exp(6)\)

使用连分数得到一个 \(\pi\) 更紧的上界：\(\frac{833719}{265381}\)。可以得到左边的上界为 \(\frac{531026266788479781326415931100}{1316282572350177269169090901}\)。

使用 \(\exp(x)\) 的 Taylor 展开 \(23\) 项得到右边的下界 \(\frac{1010648414466289}{2505147019375}\)。可以得到 \(\pi^4+\pi^5>\exp(6)\)。

Problem 4.

\(1.01^{1000}\) vs \(21000\)

首先算一下 \(\ln 21000\) 的大小。显然 \(\coth^{-1}(4801)\) 的余项可以被 \(\coth^{-1}(251)\) 的余项盖过去，所以四个 \(\coth^{-1}\) 均取第一项即可得到一个 \(\ln 21000\) 的下界 \(\frac{47111902877854}{4733803048351}\)。

在喵喵喵 II 我们得到了 \(\ln 1.01\) 的上界 \(\frac{29851}{3000000}\)。因为 \(\frac{29851}{3000}<\frac{47111902877854}{4733803048351}\)，\(1.01^{1000}<21000\)。