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Problem 1. 比较 \(1.01^{70}\) 和 \(2\) 的大小。

在 \(x=0\) 处展开函数 \(f(x)=(1+x)^{70}\)，可以得到当 \(x>0\) 时 \(f(x)<1+70x+2415x^2+54740x^3+916895x^4\)。代入 \(x=\frac1{100}\) 得到 \(f(1.01)>2.00540895>2\)。

Problem 2. 比较 \(1.01^{69}\) 和 \(2\) 的大小。

我们需要计算 \(\log_{1.01}(2)\)。根据上一题的估计，我们大概知道这个值大于 \(69\) 小于 \(70\)。

换底公式拆开：\(\log_{1.01}(2)=\frac{\ln 2}{\ln 1.01}\)。

\(\ln 2\) 使用 \(\ln(1+x)-\ln(1-x)\) 进行估计：

\[\begin{aligned} f(x)&=\ln(1+x)-\ln(1-x)\\ &=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{2x^{2j+1}}{2j+1}\\ &>2x+\frac23x^3+\frac25x^5\\ \ln 2&=\ln(1+\frac13)-\ln(1-\frac13)\\ &=f(\frac13)\\ &>\frac23+\frac2{81}+\frac2{1215}\\ &=\frac{842}{1215} \end{aligned} \]

\(\ln 1.01\) 使用 \(\ln(1+x)\) 进行估计：

\[\begin{aligned} g(x)&=\ln(1+x)\\ &=\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{-(-x)^j}{j}\\ &{\color{red}<x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3}\\ \ln(1.01)&=g(\frac1{100})\\ &<\frac1{100}-\frac1{20000}+\frac1{3000000}\\ &=\frac{29851}{3000000} \end{aligned} \]

红色的这一步可以通过导数验证。

现在做除法：

\[\begin{aligned} \log_{1.01}(2)&=\frac{\ln 2}{\ln 1.01}\\ &>\frac{\frac{842}{1215}}{\frac{29851}{3000000}}\\ &=\frac{168400000}{2417931}\\ &>69.64>69 \end{aligned} \]

故 \(2>1.01^{69}\)。