我们在 喵喵喵 VI 中提到

\[\sin x=x\prod_{k=1}^{+\infty}(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2}) \]

于是

\[\sin(\pi x)=\pi x\prod_{k=1}^{+\infty}(1-\frac{x^2}{k^2})\tag 1 \]

\(\frac1{x^2+1}\)

将 \((1)\) 左右两边分别取对数：

\[\ln\sin(\pi x)=\ln(\pi x)+\sum_{k=1}^{+\infty}\ln(1-\frac{x^2}{k^2}) \]

求导：

\[\begin{aligned} \pi\cot(\pi x)&=\frac1x+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{d}{dx}\ln(1-\frac{x^2}{k^2})\\ &=\frac1x+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{-\frac{x}{k^2}}{1-\frac{x^2}{k^2}}\\ &=\frac1x+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2x}{x^2-k^2} \end{aligned} \]

取 \(x=\sqrt{-1}\)：

\[\begin{aligned} \pi\cot(i\pi)&=-i+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2i}{-1-k^2}\\ -i\pi\coth(\pi)&=-i-2i\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{1+k^2}\\ \sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{1+k^2}&=\frac\pi2\coth(\pi)-\frac12 \end{aligned} \]