喵喵喵 VI

Basel 问题

证明

\[\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6 \]

Proof. 将 \(\sin x\) 在 \(x=0\) 展开：

\[\sin x=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \]

除以 \(x\)：

\[\frac{\sin x}x=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+\cdots \]

而 LHS 可以被写成 \(A\prod_{r|\sin r=0,r\ne 0}(x-r)\) 的形式。

注意到这样写的结果是

\[\frac{\sin x}x=(1-\frac x\pi)(1+\frac x\pi)(1-\frac x{2\pi})(1+\frac x{2\pi})\cdots\\ =(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})\cdots \]

这么写是对的因为 \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\rightarrow 0} RHS=1\)。

提取两边的 \(x^2\) 系数，得到

\[-\frac1{\pi^2}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{k^2}=-\frac1{3!}=-\frac16 \]

于是

\[\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6 \]

\(\zeta(3)\)

https://www.numdam.org/item/AST_1979__61__11_0.pdf

Catalan 数

定义

\[C=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2} \]

可以使用 Binary Splitting 计算该数（公式）。

def catalan(digits):
    def polp(k):
        return -43203456*k^6 + 92809152*k^5 - 76613904*k^4 + 30494304*k^3 - 6004944*k^2 + 536620*k - 17325
    def bs(a, b):
        if b - a == 1:
            Pab = -128*b^3*(2*b-1)*(3*b-2)*(3*b-1)*(6*b-5)*(6*b-1)
            Qab = 5*(10*b-9)*(10*b-7)*(10*b-3)*(10*b-1)*(12*b-11)*(12*b-7)*(12*b-5)*(12*b-1)
            Tab = polp(b)
        else:
            m = (a + b) // 2
            Pam, Qam, Tam = bs(a, m)
            Pmb, Qmb, Tmb = bs(m, b)
            Pab = Pam * Pmb
            Qab = Qam * Qmb
            Tab = Qmb * Tam + Pam * Tmb
        return Pab, Qab, Tab
    DIGITS_PER_TERM = math.log10(12500)
    N = int(digits/DIGITS_PER_TERM + 3)
    P, Q, T = bs(0, N)
    return T / Q / 6