函数求导

导数定义：\(f'(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\) .
我们也可以用 \(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\) 来表示。

导数能反映函数的走势。

一些最基本的规则

1

求 \(f(x) = x^a\)（\(a\) 为常数）的导数。

\(f'(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{(x + h)^a - x^a}{h}\)

利用二项式定理展开，

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\displaystyle\sum^{a}_{i = 0}C^{i}_{a}x^{a - i}h^i - x^a}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\displaystyle\sum^{a}_{i = 1}C^{i}_{a}x^{a - i}h^i}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\sum^{a}_{i = 1}C^{i}_{a}x^{a - i}h^{i - 1}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0}(C^{1}_{a}x^{a - 1} + \displaystyle\sum^{a}_{i = 2}C^{i}_{a}x^{a - i}h^{i - 1})\)
\(=ax^{a - 1}\) .

当 \(a = 0\) 时，也符合这个，即若 \(f(x) = x^0 = 1\)，则 \(f'(x) = 0\)。

2

求 \(f(x) = af_1(x)\) (\(a\) 为常数）的导数。

\[\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{af_1(x + h) - af_1(x)}{h} \\ &=a\cdot\lim_{h\to 0}\dfrac{f_1(x + h) - f_1(x)}{h} \\ &=af_1'(x) \end{align*} \]

再结合规则1，我们有 \(f(x) = ax^{b}\) 的导数为 \(f'(x) = abx^{b - 1}\)。

3

\(f(x) = f_1(x) + f_2(x)\)，求 \(f'(x)\)。

\[\begin{align*} f(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f_1(x + h) + f_2(x + h) - f_1(x) - f_2(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f_1(x + h) - f_1(x)}{h} + \lim_{h\to 0}\dfrac{f_2(x + h) - f_2(x)}{h} \\ &= f_1'(x) + f_2'(x) \end{align*} \]

4

求 \(f(x) = f_1(x)\cdot f_2(x)\) 的导数。

\[\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f_1(x + h)f_2(x + h) - f_1(x)f_2(x)}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_1(x + h)f_2(x + h) - f_1(x + h)f_2(x) + f_1(x + h)f_2(x) - f_1(x)f_2(x)}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_1(x + h)(f_2(x + h) - f_2(x)) + f_2(x)(f_1(x + h) - f_1(x))}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_2(x + h) - f_2(x)}{h}\cdot f_1(x + h) + \lim_{h\to 0}\dfrac{f_1(x + h) - f_1(x)}{h}\cdot f_2(x) \\ &=\lim_{h\to 0}f_2'(x)\cdot f_1(x + h) + f_1'(x)f_2(x) \\ &=f_1(x)f_2'(x) + f_1'(x)f_2(x) \end{align*} \]

5

求 \(f(x) = \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\) 的导数。

\[\begin{align*} f(x + h) - f(x) &= \dfrac{f_1(x + h)}{f_2(x + h)} - \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)} \\ &=\dfrac{f_1(x + h)f_2(x) - f_1(x)f_2(x + h)}{f_2(x + h)f_2(x)} \\ &=\dfrac{f_1(x + h)f_2(x) - f_1(x)f_2(x) + f_1(x)f_2(x) - f_1(x)f_2(x + h)}{f_2(x + h)f_2(x)} \\ &=\dfrac{f_2(x)(f_1(x + h) - f_1(x)) - f_1(x)(f_2(x + h) - f_2(x))}{f_2(x + h)f_2(x)} \end{align*} \]

两边同时除以 \(h\)，得到

\[\begin{align*} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{f_2(x)\dfrac{f_1(x + h) - f_1(x)}{h} - f_1(x)\dfrac{f_2(x + h) - f_2(x)}{h}}{f_2(x + h)f_2(x)} \end{align*} \]

然后我们两边同时求 \(h\to 0\) 时的极限，得到

\[f'(x) = \dfrac{f_2(x)f_1'(x) - f_1(x)f_2'(x)}{(f_2(x))^2} \]

6

求 \(f(x) = f_1(f_2(x))\) 的导数。

\[\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f_1(f_2(x + h)) - f_1(f_2(x))}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_1(f_2(x + h)) - f_1(f_2(x))}{f_2(x + h) - f_2(x)}\cdot \dfrac{f_2(x + h) - f_2(x)}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_1(f_2(x + h)) - f_1(f_2(x))}{f_2(x + h) - f_2(x)}\cdot f_2'(x) \end{align*} \]

我们考虑当 \(h\to 0\) 时，\(\displaystyle\lim_{h\to 0}f_2(x + h) = f_2(x)\)。

因此 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}(f_2(x + h) - f_2(x))) = 0\)。

因此我们换元，令 \(\varepsilon = f_2(x + h) - f_2(x)\)，所以 \(f_2(x + h) = \varepsilon + f_2(x)\)。

则原式

\[\begin{align*} &=\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac{f_1(f_2(x) + \varepsilon) - f_1(f_2(x))}{\varepsilon}\cdot f_2'(x) \\ &=f_1'(f_2(x))\cdot f_2'(x) \end{align*} \]

为了方便记忆，我们可以写成

\[\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} = \dfrac{\text{d}v}{\text{d}u}\cdot \dfrac{\text{d}u}{\text{d}x} \]