十字相乘

QWQ

讨论对于二次三项式的分解.
对于二次三项式 \(ax^2 + bx + c\) .
如果 \(a\) 能够写成 \(a_1\cdot a_2\) , \(c\) 能够写成 \(c_1\cdot c_2\) ,使得 \(b = a_1c_2 + a_2c_1\) ,那么原式定能分解成 \((a_1x + c_1)(a_2x + c_2)\) .
通常画成:

题

下面我们把二次项系数,一次项系数,常数项分别统称为 \(A,B,C\)
\(x^2 + 5x + 6\)

显然, \(A = 1\times 1,C=2\times 3,B = 1\times 2 + 1\times 3\) ,即

因此,原式 \(=(x + 2)(x + 3)\) .

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\(x^2 - 7x + 6\)

注意到, \(B\) 为负数,因此我们对 \(C\) 进行拆分的时候要写成两个负数相乘.

\(=(x - 1)(x - 6)\) .

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\(x^2 + 7x - 8\)

注意到, \(C\) 是负数,因此 \(C\) 要写成一个正数乘一个负数.

\(=(x - 1)(x + 8)\) .

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\(6x^2 - 7x + 2\)

这一道题相较于前几道,他的 \(A\not= 1\) ,所以十字相乘变得更麻烦了,不急,慢慢试.
我们知道, \(6\) 的因子有 \(1, 2, 3, 6\) (这里只讨论正数的情况,因为最后 \(x\) 项的系数-肯定-不会有人写成负的), \(2\) 的因子有 \(-1,-2\) (这里只讨论负数的情况,因为 \(B\) 是负数且 \(C\) 为正数).
这个相对还是比较好试的,最后试得,

于是,原式 \(=(2x - 1)(3x - 2)\) .

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\(12x^2 - 19xy + 7y^2\)

注意到,这是关于 \(x,y\) 的二次齐次式,我们不妨令 \(x\) 为主元,先忽略 \(y\) ,只看系数,得 \(12x^2 - 19x + 7\) .
分解为 \((x - 1)(12x - 7)\) .把常数项变为"常数 \(+\) \(y\) "的形式,可得原式 \(=(x - y)(12x - 7y)\) .

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\(a(a + 1)x + (2a^2 + 2a + 1)x + a(a + 1)\)

看到了字母,不要慌,这仍然是十字相乘.
注意到, \(2a^2 + 2a + 1 = a^2 + (a^2 + 2a + 1) = a\cdot a + (a + 1)(a + 1)\) .
因此,

于是,原式 \(=(ax + a + 1)(ax + x + a)\)

既约(无法分解)的情况

对于一个二次三项式,如果它不能在有理数集内分解,那么它的 \(\Delta = B^2 - 4AC\) 不为完全平方数,如 \(x^2 + x + 1\) ,它的 \(\Delta = 1^2 - 4\times 1\times 1 = -3 < 0\) ,一定不是完全平方数,不可在有理数集内分解;又如 \(x^2 + x - 1\) ,它的 \(\Delta = 1^2 - 4\times 1\times (-1) = 5 < 0\) ,不是完全平方数,不可在有理数集内分解.