因式分解难题1

分解: \(f(x) = 8x^3 + 4(a + b + c)x^2 + 2(ab + bc + ac)x + abc\)
方法:试根.
首先,观察数字系数: \(8,4,2,1\) .
恰好是 \(2^3, 2^2, 2^1, 2^0\) .
而其中 \(x\) 的指数分别是 \(3, 2, 1, 0\) ,我们既然想要进行试根,肯定是期望数越小越好,那么可以令 \(x = \dfrac{1}{2}\times 某个东西\) ,这样就能消掉前面的系数.
开始试根(这里出题人大概率不会出太难想的根,因为怕被喷).
第一项系数的因子有 \(\pm1, \pm2, \pm4, \pm8\) ,最后一项的因子有 \(\pm a, \pm b, \pm c, \pm ab, \pm bc, \pm ac, \pm abc\) .
试 \(x = -\dfrac{1}{2}a\) .
可得 \(f(x) = 0\) (这部分自己算).
于是, \(2x + a\) 一定是原式的一个因式.
因此,原式 \(=8x^3 + 4ax^2 + 4(b + c)x^2 + 2(b + c)ax + 2bcx + abc\)
\(=4x^2(2x + a) + 2(b + c)x(2x + a) + bc(x + 2a)\)
\(=(4x^2 + 2bx + 2cx + bc)(x + 2a)\)
\(=(2x + a)(2x + b)(2x + c)\) .
看到结果,细心的同志们可能会发现,每个因式都是 \((2x + 某个字母)\) 的形式.
其实,我们进行试根的时候,会发现 \(x = -\dfrac{1}{2}a,x = -\dfrac{1}{2}b, x = -\dfrac{1}{2}c\) 都是原多项式的根,因此 \(2x + a, 2x + b, 2x + c\) 也都是原多项式的因式.
所以这道题,我们如果把 \(x = -\dfrac{1}{2}a,x = -\dfrac{1}{2}b, x = -\dfrac{1}{2}c\) 试出来,并验证 \((2x + a)(2x + b)(2x + c)\) 是否与原多项式相等,是可以更快地分解出来的.