CF1848C Vika and Price Tags 题解

题意：

思路：

对于每个数对 $ ( $ \(a_i\) ，\(b_i\)$) $ ，其所进行的操作本质上为更相减损术，当 $ a_i = 0 $ 时， $ b_i = $ $ gcd $ $ ( $ $ a_i $ ， $ b_i $ $ ) $ ，所以每个 $ a_i $ 一定可以变为 $ 0 $ ，而这道题求解的是所有 $ a_i $ 能否同时变为 $ 0 $ 。

考虑任意一个数对 $ (a_i，b_i) $ ，设其进行更相减损术的操作次数为 $ c_i $ ，设 $ gcd $ $ ( $ $ a_i $ ， $ b_i $ $ ) $ 为 $ gcd_i $ 。当进行 $ c_i $ 次操作后，数对 $ ( $ $ a_i $ ， $ b_i $ $ ) $ 的取值为 $ ( $ $ 0 $ ， $ gcd_i $ $ ) $ ，若再进行若干次操作，状态变化如下：

\((\)\(0\)，\(gcd_i\)) \(\to\) \((\)\(gcd_i\)，\(gcd_i\)\()\) \(\to\) \((\)\(gcd_i\)，\(0\)\()\) \(\to\) \((\)\(0\)，\(gcd_i\)\()\) \(\to\) \(...\)

观察，经过\(3\)次操作后，数对\((\)\(a_i\)，\(b_i\)\()\)的取值又恢复成了\((\)\(0\)，\(gcd_i\)\()\)。因此，只要满足\(c_1\) \(\equiv\) \(c_2\) \(\equiv\) \(...\) \(\equiv\) \(c_n\)\((\)\(mod\) \(3\)\()\)，所有\(a_i\)就能同时变为\(0\)。

如果暴力求解\(c_i\)，每次求解\(c_i\)的时间复杂度为\(O\)\((\)\(max\)\((\)\(a_i\)，\(b_i\)\()\)\()\)，显然会超时。

由于数对\((\)\(\frac {a_i} {gcd_i}\)，\(\frac {b_i} {gcd_i}\)\()\)进行更相减损术的操作次数也为\(c_i\)，并且进行\(c_i\)次操作后，数对\((\)\(\frac {a_i} {gcd_i}\)，\(\frac {b_i} {gcd_i}\)\()\)的取值也为\((\)\(0\)，\(gcd_i\)\()\)。那么令\(a_i\) \(=\) \(a_i\) \(/\) \(gcd_i\)，\(b_i\) \(=\) \(b_i\) \(/\) \(gcd_i\)，此时\(a_i\)与\(b_i\)互质，数对\((\)\(a_i\)，\(b_i\)\()\)的取值的奇偶性有以下三种:\((\)偶，奇\()\)、\((\)奇，奇\()\)、\((\)奇，偶\()\)。

若此时数对\((\)\(a_i\)，\(b_i\)\()\)的取值为\((\)\(2k\)，\(2k + 2x + 1\)\()\)\((\)此处举例情况奇偶性为\((\)偶，奇\()\)，其余情况同理\()\)，对其进行若干次操作，状态变化如下：

\((\)\(2k\)，\(2k\) \(+\) \(2x\) \(+\) \(1\)\()\) \(\to\) \((\)\(2k\) \(+\) \(2x\) \(+\) \(1\)，\(2x\) \(+\) \(1\)) \(\to\) \((\)\(2x\) \(+\) \(1\)，\(2k\)\()\) \(\to\) \((\)\(2k\)，\(|\) \(2k\) \(-\) \(2x\) \(-\) \(1\) \(|\)\()\) \(\to\) \(...\)

观察，经过\(3\)次操作后，数对\((\)\(a_i\)，\(b_i\)\()\)的取值的奇偶性的变化为：\((\)偶，奇\()\) \(\to\) \((\)奇，奇\()\) \(\to\) \((\)奇，偶\()\) \(\to\) \((\)偶，奇\()\)。由于数对\((\)\(a_i\)，\(b_i\)\()\)的取值为\((\)\(0\)，\(gcd_i\)\()\)时的奇偶性为\((\)偶，奇\()\)，因此，当且仅当所有数对\((\)\(a_i\)，\(b_i\)\()\)的奇偶性相同时\((\)\(a_i\) \(=\) \(a_i\) \(/\) \(gcd_i\)，\(b_i\) \(=\) \(b_i\) \(/\) \(gcd_i\))，一定可以使初始情况下\(a_i\)在若干次操作后同时为\(0\)；反之，一定不行。