【题解】Luogu P10289 [GESP样题 八级] 小杨的旅游

思路

首先不难发现是树上最短路，使用最近公共祖先求解。令 \(u,v\) 的 LCA 为 \(k\)，两点距离为两点到 LCA 深度差的和，即 \(dep_u-dep_k+dep_v-dep_k\)。也可以在求 LCA 向上跳的同时累加步数。

然后考虑传送门，只要从 \(u,v\) 出发走到各自距离最近的传送门即可。使用 BFS 找到每个点距离最近的传送门。

最后答案为两者中较小值。

实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
const int INF=1e9;
int n,k,q,D;
int h[N],tot;
int fa[N][20],dep[N];
int f[N];
bool t[N],qvis[N];
struct Node{
    int to,nxt;
}e[2*N];
struct Qnode{
    int u,step;
};
queue<Qnode> Q;
void Add(int u,int v){
    tot++;
    e[tot].to=v;
    e[tot].nxt=h[u];
    h[u]=tot;
}
void bfs(){
    while(!Q.empty()){
        Qnode front=Q.front();
        int u=front.u,st=front.step;
        Q.pop();
        for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].to;
            if(!qvis[v]){
                Q.push(Qnode{v,st+1});
                qvis[v]=1;
                f[v]=st+1;
            }
        }
    }
}
void dfs(int u,int cur,int fath){
    fa[u][0]=fath;
    D=max(D,cur);
    dep[u]=cur;
    for(int i=1;i<=log(dep[u])/log(2);i++) fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
    for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v!=fath) dfs(v,cur+1,u);
    }
}
int LCA(int a,int b){
    if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
    int dis=0;
    for(int i=log(D)/log(2);i>=0;i--){
        if(dep[fa[a][i]]>=dep[b]){
            a=fa[a][i];
            dis+=(1<<i);
        } 
    }
    if(a==b) return dis;
    for(int i=log(D)/log(2);i>=0;i--){
        if(fa[a][i]!=fa[b][i]){
            a=fa[a][i];
            b=fa[b][i];
            dis+=2*(1<<i);
        }
    }
    dis+=2;
    return dis;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    cin>>n>>k>>q;
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        Add(u,v),Add(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int x;
        cin>>x;
        Q.push((Qnode){x,0});
        t[x]=1,qvis[x]=1,f[x]=0;
    }
    bfs();
    dfs(1,1,0);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        cout<<min(LCA(u,v),f[u]+f[v])<<'\n';
    }
    return 0;
}

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。