【笔记】最近公共祖先 - 倍增

最近公共祖先（LCA）

Luogu P3379【模板】最近公共祖先（LCA）

倍增能在 \(\log(n)\) 解决从 \(u\) 到 \(v\) 的路线问题。

我们往上跳，\(f[i][j]\) 表示 \(i\) 节点往上跳 \(2^j\) 步。

\(f[i][0]=father[i]\)

\(f[i][1]=f[f[i][0]][0]\)

\(f[i][2]=f[f[i][1]][1]\)

\(f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]\)

实现：如果两个点往上跳的点一样就不跳并减半，最后求跳完之后两个节点的父亲。

先大步再小步。

预处理：建树，求每个点深度以及倍增跳步所达到的点。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
struct Node{
	int to,nxt;
}e[2*maxn];
int n,m,s,D;
int tot,h[maxn],dep[maxn],fa[maxn][20];
void Add(int u,int v){
	tot++;
	e[tot].to=v;
	e[tot].nxt=h[u];
	h[u]=tot;
}
void Dfs(int root,int cur,int fath){
	fa[root][0]=fath;
	D=max(D,cur);
	dep[root]=cur;
	for(int i=1;i<=log(dep[root])/log(2);i++){
		fa[root][i]=fa[fa[root][i-1]][i-1];
	}
	for(int i=h[root];i!=-1;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(v!=fath) Dfs(v,cur+1,root);
	}
}
int LCA(int a,int b){
	if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
	for(int i=log(D)/log(2);i>=0;i--){
		if(dep[fa[a][i]]>=dep[b]) a=fa[a][i];
	}
	if(a==b) return a;
	for(int i=log(D)/log(2);i>=0;i--){
		if(fa[a][i]!=fa[b][i]){
			a=fa[a][i];
			b=fa[b][i];
		}
	}
	return fa[a][0];
}
int main(){
	memset(h,-1,sizeof(h));
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	fa[s][0]=s;
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		Add(x,y);Add(y,x);
	}
	Dfs(s,1,0);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		printf("%d\n",LCA(a,b));
	}
	return 0;
}

ybt 1552【例 1】点的距离

随便选一个点当作树根，然后在跳的时候记录跳的步数即可。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
struct Node{
	int to,nxt;
}e[2*maxn];
int n,m,s,D;
int tot,h[maxn],dep[maxn],fa[maxn][20];
void Add(int u,int v){
	tot++;
	e[tot].to=v;
	e[tot].nxt=h[u];
	h[u]=tot;
}
void Dfs(int root,int cur,int fath){
	fa[root][0]=fath;
	D=max(D,cur);
	dep[root]=cur;
	for(int i=1;i<=log(dep[root])/log(2);i++){
		fa[root][i]=fa[fa[root][i-1]][i-1];
	}
	for(int i=h[root];i!=-1;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(v!=fath) Dfs(v,cur+1,root);
	}
}
int LCA(int a,int b){
	int ans=0;
	if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
	for(int i=log(D)/log(2);i>=0;i--){
		if(dep[fa[a][i]]>=dep[b]){
			a=fa[a][i];
			ans+=pow(2,i);
		} 
	}
	if(a==b) return ans;
	for(int i=log(D)/log(2);i>=0;i--){
		if(fa[a][i]!=fa[b][i]){
			a=fa[a][i];
			b=fa[b][i];
			ans+=2*pow(2,i);
		}
	}
	return ans+2;
}
int main(){
	memset(h,-1,sizeof(h));
	scanf("%d",&n);
	fa[s][0]=s;
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		Add(x,y);Add(y,x);
	}
	scanf("%d",&m);
	Dfs(1,1,0);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		printf("%d\n",LCA(a,b));
	}
	return 0;
}