【笔记】龟速乘与快速幂

龟速乘与快速幂

n&1: 取n的二进制最末位
n>>1: 右移一位，相当于去掉n的二进制最末尾（相当于n/2）
n<<1 相当于n*2
if(n%2==1) 可以写成if((n&1)==1)或if(n&1)
位运算比 +-*/ 更快

龟速乘

求 $ (a\times b) \bmod p$。

例：

\((7 \times 3) \bmod 5\)

\(7=1+2+4\)

\(7 \times 3=(1+2+4) \times 3=(2^0+2^1+2^2) \times 3\)

\(\hspace{0.87cm}=3+6+12\)

\(7 \times 3 \bmod 5=(3 \bmod 5)+(6 \bmod 5)+(12 \bmod 5)\)

取 b 末尾二进制，如果是 1 就把 ans 加上 a，如果不是就不加。

ans 取余 p。

因为每往前一位二进制就乘 2，所以 a 也乘 2。

随后 b 除以 2。

Luogu P10446 64位整数乘法

#include<iostream>
#define int long long
using namespace std;
int a,b,p,ans;
signed main(){
	cin>>a>>b>>p;
	while(b){
		if(b&1){
			ans+=a;
			ans%=p;
		} 
		a<<=1;
		a%=p;
		b>>=1;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

快速幂

求 \(a^n \bmod p\)。

求 \(a^{19}\)：

\(19=16+2+1=2^4+2^1+2^0\)

\(a^{19}=a \times a^2 \times a^{16}\)

与龟速乘同理，把加改成乘，\(ans\) 初值为 \(1\)，结束。

严谨起见，要特判 \(ans=0\) 的情况。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a,b,p;
long long ans;
long long ksm(int a,int b,int p){
	long long ans=1,tmp=a;
	while(b>0){
		if(b&1) ans=ans*tmp%p;
		tmp=tmp*tmp%p;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin>>a>>b>>p;
	ans=ksm(a,b,p);
	if(a==1&&b==0&&p==1) ans=0;
	printf("%d^%d mod %d=%d",a,b,p,ans);
	return 0;
}

Luogu P1965 [NOIP2013 提高组] 转圈游戏

求出公式：

\(ans=(x+((10^k \bmod n) \times m) \bmod n) \bmod n\)

用快速幂求出 \(10^k \bmod n\) 然后套公式计算。

#include<iostream>
#define int long long
using namespace std;
int n,m,k,x;
int kuai,ans;
long long ksm(int a,int b,int p){
	long long ans=1,tmp=a;
	while(b>0){
		if(b&1) ans=ans*tmp%p;
		tmp=tmp*tmp%p;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main(){
	cin>>n>>m>>k>>x;
	kuai=ksm(10,k,n);
	ans=(x+(kuai*m)%n)%n;
	cout<<ans;
	return 0;
}