【题解】Luogu P1310 [NOIP 2011 普及组] 表达式的值

题意

给定一个仅包含与或的中缀表达式，在每一个数值位填 0 或 1，求有多少种填法使得表达式的值为 0。

思路

统计方案数，首先考虑 DP。要想得知表达式的值，就要得知参与最后运算的两个值。这启示我们将中缀转后缀，建表达式树。

定义 \(f_{u,0}\) 为以 \(u\) 为根的子树的表达式为 \(0\)，\(f_{u,1}\) 同理。根据 \(u\) 的运算符列出状态转移方程。如果 \(u\) 是与，那么仅当两个子树表达式的值都为 \(1\) 时该表达式才为 \(1\)。根据乘法原理，方案数为 \(f_{lson,1}\times f_{rson,1}\)。其余依此类推。

\(u\) 为或：

\[f_{u,0}=f_{lson,0}\times f_{rson,0} \]

\[f_{u,1}=f_{lson,1}\times f_{rson,1}+f_{lson,0}\times f_{rson,1}+f_{lson,1}\times f_{rson,0} \]

\(u\) 为与：

\[f_{u,0}=f_{lson,0}\times f_{rson,0}+f_{lson,0}\times f_{rson,1}+f_{lson,1}\times f_{rson,0} \]

\[f_{u,1}=f_{lson,1}\times f_{rson,1} \]

答案即为 \(f_{root,0}\)。每个叶子结点都可以填 \(0\) 和 \(1\)，因此初始值都为 \(2\)。

注意在补完表达式时要注意添加空位的情况，仅当运算符左边为括号时在左边添位，右边不为括号时在右边添位。为了方便添位和转后缀时的出栈，为表达式整体套一层括号。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
#define int long long 
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int p=10007;
const int Tm=1e6+1,Ad=1e6+2,lKh=1e6+3,rKh=1e6+4;
int L,tot,totb,tott,cnt;
stack<int> st,st2;
char s[N];
int t[3*N],b[3*N];
int lson[3*N],rson[3*N],w[3*N],v[3*N];
int f[3*N][2];
void dfs(int u){
	if(lson[u]) dfs(lson[u]);
	if(rson[u]) dfs(rson[u]);
	if(w[u]==Ad){
		f[u][0]=f[lson[u]][0]*f[rson[u]][0]%p;
		f[u][1]=((f[lson[u]][0]*f[rson[u]][1]%p+f[lson[u]][1]*f[rson[u]][0]%p)%p+f[lson[u]][1]*f[rson[u]][1]%p)%p;
	}else if(w[u]==Tm){
		f[u][0]=((f[lson[u]][0]*f[rson[u]][1]%p+f[lson[u]][1]*f[rson[u]][0]%p)%p+f[lson[u]][0]*f[rson[u]][0]%p)%p;
		f[u][1]=f[lson[u]][1]*f[rson[u]][1]%p;
	}
}
signed main(){
	scanf("%lld",&L);
	scanf("%s",s+2);
	L+=2;
	s[1]='(';s[L]=')';
	for(int i=1;i<=L;i++){
		if(s[i]=='*'){
			if(t[tot]==lKh) t[++tot]=++cnt;
			t[++tot]=Tm;
			if(s[i+1]!='(') t[++tot]=++cnt;
		}else if(s[i]=='+'){
			if(t[tot]==lKh) t[++tot]=++cnt;
			t[++tot]=Ad;
			if(s[i+1]!='(') t[++tot]=++cnt;
		}else if(s[i]=='(') t[++tot]=lKh;
		else t[++tot]=rKh;
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		if(t[i]==Tm){
			while(!st.empty()&&st.top()==Tm){
				b[++totb]=Tm;
				st.pop();
			} 
			st.push(Tm);
		}else if(t[i]==Ad){
			while(!st.empty()&&(st.top()==Tm||st.top()==Ad)){
				if(st.top()==Tm) b[++totb]=Tm;
				else b[++totb]=Ad;
				st.pop();
			}
			st.push(Ad);
		}else if(t[i]==rKh){
			while(!st.empty()&&st.top()!=lKh){
				if(st.top()==Tm) b[++totb]=Tm;
				else b[++totb]=Ad;
				st.pop();
			}
			if(!st.empty()) st.pop();
		}else if(t[i]==lKh) st.push(lKh);
		else b[++totb]=t[i];
	}
	for(int i=1;i<=totb;i++){
		if(b[i]<Tm){
			tott++;
			w[tott]=b[i];
			f[tott][0]=f[tott][1]=1;
			st2.push(tott);
		}else if(b[i]==Tm){
			int x=st2.top();
			st2.pop();
			int y=st2.top();
			st2.pop();
			lson[++tott]=x;
			rson[tott]=y;
			w[tott]=Tm;
			st2.push(tott);
		}else{
			int x=st2.top();
			st2.pop();
			int y=st2.top();
			st2.pop();
			lson[++tott]=x;
			rson[tott]=y;
			w[tott]=Ad;
			st2.push(tott);
		}
	}
	dfs(tott);
	printf("%lld\n",f[tott][0]);
	return 0;
} 

时间复杂度 \(O(L)\)。