2. 完备化与列紧集

2. 完备化与列紧集

2.1 稠密性

首先来介绍稠密性的定义，并由此引出纲集的概念.

Def 2.1. 设\(X\)是度量空间, \(E\)与\(F\)是其中的点集. 如果\(\overline{E}\supset F\)，则称\(E\)在\(F\)中稠密.

简而言之，如果一个点集\(E\)的闭包包含点集\(F\), 就称\(E\)在\(F\)中稠密. 根据闭包的性质，对于集合闭包中的任一点，其开球中总包含该集合中的点，且存在该集合中的点列收敛到该点. 由此可立即得到以下事实.

Thm 2.2. \(E\)在\(F\)中稠密, 当且仅当以下条件中任意成立一个:
(1). 对于任意\(\varepsilon>0\), \(x\)为\(E\)中任意点, \(\bigcup_{\varepsilon}B(x,\varepsilon)\supset F\);
(2). 对于任意\(x\in F\), 存在\(E\)中的点列\(\{x_n\}\)收敛到\(x\);
(3). 对任意\(x\in F\)及任意\(\varepsilon>0\), 存在\(y\in E\)使得\(d(x,y)<\varepsilon\), 其中\(d\)表示两点之间的距离.

稠密性具有传递性, 即如果\(B\)在\(A\)中稠密, \(C\)在\(B\)中稠密, 则可得\(C\)在\(A\)中稠密. 这是因为\(\overline{B}\supset A\), \(\overline{C}\supset B\), 但\(\overline{B}\)是包含在\(B\)的最小闭集, 且\(\overline{C}\)是闭集且包含\(B\), 所以\(\overline{C}\supset \overline{B}\), 得到\(\overline{C}\supset \overline{A}\).
使用稠密性可以更为简洁的叙述Weierstrass逼近定理. 该定理表明了存在多项式序列\(\{P_n(x)\}\)在\([a,b]\)上一致收敛于\([a,b]\)上的连续函数\(f(x)\). 我们记\(P\)为多项式全体所成的空间, 它是度量空间\(C([a,b])\)的子集. 从而Weierstrass逼近定理可以叙述为：\(P\)在\(C([a,b])\)中是稠密的.

Thm 2.3. 设\(E\)是\(\mu\)的可测集, \(1\leq p<\infty\), \(L^p(E)\)中的有界可测函数的全体\(B(E)\)是\(L^p(E)\)的稠密子集.

证明： 取\(f(x)\in L^p(E)\), 构造函数列

\[f_n(x)=\left\{\begin{aligned} & f(x),\quad |f(x)|\leq n,\\ & 0,\quad |f(x)|>n, \end{aligned}\right.\\ \]

则\(f_n(x)\in B(E)\), 且

\[\int_E|f_n(x)-f(x)|^p\mathrm{d}\mu = \int_{E(|f|>n)}|f(x)|^p\mathrm{d}\mu,\\ \]

由于\(|f|^p\in L(E)\), 根据积分的绝对连续性, 对于任意\(\varepsilon>0\), 必然存在\(\delta>0\), 使得当\(e\subset E\), \(\mu(e)<\delta\)时成立

\[\int_e|f|^p\mathrm{d}\mu <\varepsilon^p,\\ \]

而

\[n^p\mu(E(|f|>n))\leq \int_{E(|f|>n)}|f(x)|^p\mathrm{d}\mu\leq \int_E|f|^p\mathrm{d}\mu,\\ \]

所以存在\(N>0\), 使得\(n>N\)时, \(\mu(E(|f|>n))<\delta\), 因而

\[d(f_n,f)=\left(\int_{E(|f|>n)}|f(x)|^p\mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{p}<\varepsilon,\\ \]

所以\(B(E)\)在\(L^p(E)\)中稠密. \(\blacksquare\)

Thm 2.4. 对直线上任一Lebesgue可测集\(E\), 当\(1\leq p<\infty\)时, \(L^p(E)\)中有界连续函数全体在\(L^p(E)\)上稠密.

证明： 证明与Thm 2.4. 类似. 取\(f\in B(E)\), 设\(|f(x)|\leq K\), \(x\in E\). 对于任何\(\varepsilon>0\), 根据Lusin定理, 对于正数\(\displaystyle\delta=\left(\frac{\varepsilon}{2K}\right)^p\), 存在\(E\)上的连续函数\(g(x)\), 使得集合\(E_1=E(f\neq g)\)满足\(m(E_1)<\delta\). 假设\(|g(x)|\leq K\), 于是

\[\int_E|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x = \int_{E_1}|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x + \int_{E-E_1}|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x <\varepsilon,\\ \]

从而得证. \(\blacksquare\)

根据Thm 2.4. 不难得到以下推论.

Coll 2.5. 设\([a,b]\)为有限区间, \(p\geq1\), \(P\)与\(C([a,b])\)在\(L^p([a,b])\)中稠密.

稠密行可引出下面的可分性概念.

Def 2.6. 设\(E\)是度量空间\(X\)中的点集, 如果存在有限集合或可列集合\(\{x_n\}\subset X\)在\(E\)中稠密, 则称点集\(E\)是可分的.

可分性只要求\(\{x_n\}\)在\(X\)中, 即它可以不在子集\(E\)中. 如果一个度量空间\(X\)是可分的, 则说明\(X\)中包含了稠密的可列集. 因此, 对于这类空间的考察, 我们可以首先讨论其中的稠密可列集的性质, 然后根据稠密性推广到整个度量空间上.

Exp 2.7. 下面给出一些关于稠密性与可分性的例子.

(1). \(n\)维欧几里得空间按距离\(d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-y_i\right)^2}\)形成的度量空间\((\mathbb{R}^n,d)\)是可分的, 有理点全体组成的集合在\(\mathbb{R}^n\)中稠密.
证明： 取集合

\[M := \{(r_1,\cdots,r_n): r_i\in\mathbb{Q}, i=1,\cdots,n\},\\ \]

只需要证明对于\(\mathbb{R}^n\)中任意一点\(x\), 存在点列\(\{r_n\}\subset M\), 使得\(r_n\to x\)即可. 根据有理数集\(\mathbb{Q}\)在直线集\(\mathbb{R}\)上的稠密性可知, 对于每一个实数\(x_i\), 存在有理数点列\(r_i^{(k)}\), 使得对于任意的\(i=1,\cdots,n\)都有\(r_i^{(k)}\to x_i\). 现在证明\(r_k\to x\). 对于任意\(\varepsilon>0\), 由于\(r_i^{(k)}\to x_i\), 对于\(\varepsilon/\sqrt{n}>0\), 恒存在\(K_i>0\), 有

\[|r_i^{(k)}-x_i|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{n}},\quad i=1,\cdots,n,\\ \]

取\(K=\max\{K_1,\cdots,K_n\}\), 当\(k>K\)时, 成立\(|r_i^{(k)}-x_i|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{n}},\quad i=1,\cdots,n\). 因此

\[d(r_k,x) - \sqrt{\sum_{i=1}^n|r_i^{(k)}-x_i|^2}<\sqrt{\frac{n\varepsilon^2}{n}}=\varepsilon.\\ \]

即\(r_k\to x\). 从而\(M\)在\(\mathbb{R}^n\)中稠密, \((\mathbb{R}^n,d)\)是可分的. \(\blacksquare\)

(2). 空间\(C([a,b])\)和\(L^p([a,b])\)按距离\(d_\infty(f,g)=\max|f(x)-g(x)|\)形成的度量空间都是可分的. 多项式群体组成的集合在其中稠密.
(3). 空间\(l^p(1\leq p<\infty)\)按距离\(d_p(x,y)=\left(\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p\right)^\frac{1}{p}\)形成的度量空间是可分的.
证明： 取集合

\[M := \{(r_1,\cdots,r_n,\cdots): r_i\in\mathbb{Q}, i=1,\cdots\},\\ \]

可以看出\(M\)可列, 且\(M\)在\(l^p\)中稠密. 这是因为取点列\(\{x_n\}\), 设\(x\in l^p\). 由于\(\sum_{k}|x_k|^p<+\infty\), 对于任意正数\(\varepsilon\), 存在\(m\)使得\(\sum_{k=m+1}|x_k|^p<\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^p\), 取\(m\)个有理数\(r_1,r_2,\cdots,r_m\)使得\(\sum_{k=1}^m|r_k-x_k|^p<\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^p\), 从而\(d_p(r,x)<\varepsilon\), 得到\(M\)稠密. \(\blacksquare\)

(4). 空间\(l^\infty\)是不可分的.
证明： 取\(l^\infty\)中的如下点列：\(\{x_n\}\), 其中\(x_i\)的值为\(0\)或\(1\), \(i=1,\cdots,n\). 这种点集的全体记为\(K\), 很明显\(K\subset l^\infty\). 对于\(K\)中任意的相异两点\(x,y\), 必有\(d(x,y)=1\). 现假设\(l^\infty\)可分, 则存在点集\(\{y_n\}\)在\(l^\infty\)中稠密, 则对于任意\(x\in K\), 存在开球\(B(x,\frac{1}{3})\)内至少存在一个\(y_n\), 由于这种球有不可列个，而\(\{y_n\}\)中只有可列个点, 所以至少存在一个\(y_n\)同时属于两个不同的开球, 假设为\(B(x^{(1)},\frac{1}{3})\)和\(B(x^{(2)},\frac{1}{3})\), 其中\(x^{(1)},x^{(2)}\in K\). 如此

\[1 = d(x^{(1)},x^{(2)}) \leq d(x^{(1)}, y_{k_0}) + d(y_{k_0},x^{(2)})\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\\ \]

这是矛盾的. 从而空间\(l^\infty\)不可分. \(\blacksquare\)

与稠密性相对应的一个概念是稀疏性, 或称为疏朗性.

Def 2.8. 设\(E\)是度量空间\(X\)中的点集, 如果\(E\)不在\(X\)的任何一个非空的开集中稠密, 则称点集\(E\)是稀疏的.

结合稠密性的定义，可以得出一个集合\(E\)是稀疏的, 即说明\(E\)的闭包中的内点全体组成的集合是空集, \((\overline{E})^\circ =\varnothing\), 其中\(A^\circ\)表示\(A\)的内点的全体组成的集合.

Thm 2.9. 点集\(E\)是度量空间\(X\)中的稀疏集的充要条件是对于任意开球\(B(x_0,r)\), 存在另一个开球\(B(y_0,\delta)\subset B(x_0,r)\), 使得

\[E\cap B(y_0,\delta) = \varnothing.\\ \]

证明： 设\(E\)是稀疏集, 则\(E\)在开球\(B(x_0,r)\)中不稠密，所以存在\(y_0\in B(x_0,r)\)以及其开球\(B(y_0,\delta)\subset \overline{B(x_0,r)}\)使得\(B(y_0,\delta)\)与\(E\)不交，即得证. 反之，若定理中条件成立，则\(E\)在任意非空开球中不稠密，所以\(E\)是稀疏集. \(\blacksquare\)

Def 2.10. 设\(E\)是度量空间\(X\)中的点集, 如果\(E\)可以表示为之多可列个稀疏集的并，则称\(E\)为第一类型集，如果一个集合不是第一类型集，则称之为第二类型集.

2.2 完备性

在数学分析中，研究点集的收敛性时，我们使用了“Cauchy列”或“基本列”的定义. 在距离空间中我们也有相类似的概念.

Def 2.11. 设\((X,d)\)为度量空间, \(\{x_n\}\)是其中的一个点列，如果对于任意的\(\varepsilon>0\), 存在自然数\(N\), 使得当\(m,n>N\)时，\(d(x_m,x_n)<\varepsilon\). 则称\(\{x_n\}\)为\(X\)中的基本点列, 或Cauchy点列.

与实数空间类似, 有下面的命题.

Lemma 2.12. 度量空间中的收敛点列必定是基本点列; 如果度量空间中存在基本点列的收敛子列, 则该基本点列收敛到与其子列相同的极限.

仿照实数空间中的思路证明即可.

以上引理说明了这样的一个事实：度量空间中的收敛点列必定是基本点列，但基本点列未必是收敛点列.
反例： 取\(X=\mathbb{R}\backslash \{0\}\), 距离\(d(x,y)=|x-y|\). 则不难得到\(\{\frac{1}{n}\}\)是度量空间\((X,d)\)中的基本点列，但是它在\(X\)中不存在极限.

Def 2.13. 如果度量空间\(X\)中的每个基本点列都收敛，则称度量空间\(X\)是完备的. 如果\(Y\subset X\), \(Y\)作为度量空间是完备的，则称\(Y\)是\(X\)的度量子空间.

注意在以上定义中，包含子空间的空间不一定完备. 即：不完备的度量空间可以存在完备的度量子空间. 根据完备性和闭集的定义可以证明以下命题.

Lemma 2.14. 完备度量空间中的闭子集是完备子空间，任何度量空间的完备子空间必然是闭子集.

下面我们讨论一些完备的空间.

一致离散的度量空间\(X\)是完备的.

取\(\{x_n\}\subset X\), 则根据一致离散的定义，存在\(N\)，当\(n>N\)时，令\(x_N=x_{N+1}=\cdots=x_{N+k}=\cdots\), 从而点列\(\{x_n\}\)收敛到\(x_N\). 所以空间完备.

欧几里得空间\(\mathbb{R}^n\)按欧式距离是完备的.

取\(\mathbb{R}^n\)中的点列\(\{x_m|x_m=(x_1^{(m)},\cdots,x_n^{(m)}), m = 1,2,\cdots\}\). 由于

\[|x_i^{(m)} - x_i^{(k)}| = d(x_m,x_k) =\left(\sum_{j=1}^n|x_j^{(m)} - x_j^{(k)}|^2\right)^\frac{1}{2} \leq \sqrt{n}\max_{1\leq j\leq n}|x_j^{(m)} - x_j^{(k)}|,\quad i =1,2,\cdots,n,\\ \]

所以当\(\{x_m\}\)是基本点列时，对于每个\(i\), \(\{x_i^{(m)}\}\)是基本点列. 从而根据Cauchy收敛准则，它存在极限\(x_i^{(0)}\). 取\(x_0=(x_1^{(0)},\cdots,x_n^{(0)})\in\mathbb{R}^n\). 对任何\(\varepsilon>0\), 存在\(N\), 当\(m\geq N\)时, \(|x_j^{(m)}-x_j^{(0)}|<\sqrt{\frac{1}{n}}\varepsilon\), 当\(m\geq N\)时

\[d(x_m,x_0)\leq \sqrt{n}\max_{1\leq j\leq n}|x_j^{(m)} - x_j^{(k)}|<\varepsilon,\\ \]

即\(\{x_m\}\)收敛于\(x_0\).

连续函数空间\(C([a,b])\)按距离\(d_\infty(f,g)=\sup|f-g|\)是完备的，但按距离\(d_1(f,g)=\int_a^b|f(t)-g(t)|\mathrm{d}t\)不完备.

首先考察度量空间\((C([a,b]),d_\infty)\). 取基本函数列\(\{f_n\}\), 则可知该点列满足对任何\(\varepsilon>0\), 存在\(N\), 当\(m,n>N\)时,

\[d(f_n,f_m)=\sup_{t\in[a,b]}|f_n(t)-f_m(t)|<\varepsilon,\\ \]

这意味着对于任何\(t\in[a,b]\), 只要\(m,n>N\)，就有

\[|f_n(t)-f_m(t)|<\varepsilon,\\ \]

根据数列的Cauchy收敛条件得到\(\{f_n\}\)收敛于\(f\), 再取\(m\to\infty\), 得到\(|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon\), 即\(\{f_n\}\)一致收敛于\(f\).

考察度量空间\((C([a,b]),d_1)\). 构造\(C([a,b])\)中以下函数列：取\(c=\frac{a+b}{2}\in (a,b)\)

\[f_n(t)=\left\{\begin{aligned} &-1,\quad a\leq t\leq c-\frac{1}{n},\\ & n(t-c),\quad c-\frac{1}{n}< t< c+\frac{1}{n},\\ &1,\quad c+\frac{1}{n}\leq t\leq b. \end{aligned}\right.\\ \]

这是个基本点列. 因为

\[\begin{aligned} d_1(f_m,f_n)& = \int_a^b|f_m(t)-f_n(t)|\mathrm{d}t\\ &= 2\left[\int_c^{c+\frac{1}{m}}(m(t-c)-n(t-c))\mathrm{d}t+\int_{c+\frac{1}{m}}^{c+\frac{1}{n}}(1-n(t-c))\mathrm{d}t\right]\\ &=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\to(m,n\to+\infty), \end{aligned}\\ \]

假设\(f\in C([a,b])\)为函数列\(\{f_n\}\)的极限. 则\(d_1(f_n,f)\to0\). 而

\[\begin{aligned} d_1(f_m,f_n)& = \int_a^b|f_m(t)-f_n(t)|\mathrm{d}t\\ &= \int_c^{c-\frac{1}{n}}|f_n(t)-f(t)|\mathrm{d}t+\int_{c-\frac{1}{n}}^{c+\frac{1}{n}}|f_n(t)-f(t)|\mathrm{d}t+\int_{c+\frac{1}{n}}^b|f_n(t)-f(t)|\mathrm{d}t\\ &=\int_c^{c-\frac{1}{n}}|-1-f(t)|\mathrm{d}t+\int_{c-\frac{1}{n}}^{c+\frac{1}{n}}|f_n(t)-f(t)|\mathrm{d}t+\int_{c+\frac{1}{n}}^b|1-f(t)|\mathrm{d}t, \end{aligned}\\ \]

从而

\[\int_a^c|1+f(t)|\mathrm{d}t=\int_c^b|1-f(t)|\mathrm{d}t=0,\\ \]

根据连续性, \([a,c]\)上\(f(t)\equiv -1\), \([c,b]\)上\(f(t)\equiv 1\). 而

\[\lim_{t\to c^-}f(t)=-1,\quad \lim_{t\to c^+}f(t)=1,\\ \]

这与连续性矛盾.

\(L^p(E)(p\geq 1)\)按距离\(d_p(f,g)\)或\(d_\infty(f,g)\)是完备的.

我们分两种情况讨论: \(1\leq p<+\infty\)和\(p=\infty\).
对于前者，设\(\{f_n\}\)是\(L^p(E)\)中的基本点, 因此对于任何\(\sigma>0\),

\[\sigma\mu(E(|f_n-f_m|)>\sigma)\leq \left(\int_{E(|f_n-f_m|>\sigma)}|f_n-f_m|^p\mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{p}\leq d_p(f_n,f_m),\\ \]

因此\(\{f_n\}\)是依测度收敛的基本列. 从而它存在几乎处处收敛的子函数列\(\{f_{n_k}\}\), 设子函数列收敛到\(f\). 对于任何自然数\(n\), \(|f_{n_k}-f_n|\to|f-f_n|(n\to\infty)\). 根据基本列的定义, 对任何\(\varepsilon>0\), 存在\(N\), 当\(n,m\geq N\)时

\[d_p(f_n,f_m)<\varepsilon,\\ \]

取\(m=n_k\), 根据法图引理得到

\[\begin{aligned} d_p(f_n,f)&=\left(\int_E|f_n-f|^p\mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{p}\leq \left(\lim_{k\to\infty}\int_E|f_{n_k}-f_n|^p\mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{p}\\ &= \lim_{k\to\infty}\left(\int_E|f_{n_k}-f_n|^p\mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{p} =\lim_{k\to\infty}d(f_{n_k},f_n)\leq \varepsilon, \end{aligned}\\ \]

这就证明了\(L^p\)是完备的.
再考虑\(p=\infty\)的情况. 此时距离\(d_\infty\)为\(f-g\)的本性上确界，它是可达的. 从而存在\(E_n\subset E\)，\(\mu(E_n)=0\)使得

\[\mathrm{ess}\sup f_n = \sup_{E-E_n}|f_n(t)|,\\ \]

且存在\(E_{n,m}\subset E\), \(\mu(E_{n,m})=0\)使得

\[\mathrm{ess}\sup (f_n-f_m) = \sup_{E-E_{n,m}}|f_n(t)-f_m(t)|,\\ \]

现在记\(\displaystyle E_0=\left(\bigcup_{n,m=1}^\infty E_{n,m}\right)\cup \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_{n}\right)\), \(\mu(E_0)=0\), 且对一切\(n,m=1,2,\cdots\)

\[d_\infty(f_n,f_m)=\sup_{E-E_{n,m}}|f_n(t)-f_m(t)|\geq \sup_{E-E_0}|f_n(t)-f_m(t)|\geq d_\infty(f_n,f_m),\\ \]

如果\(\{f_n\}\)是基本函数列，则\(d_\infty(f_n,f_m)\to0\), 即\(\{f_n\}\)在\(E-E_0\)上按一致收敛是基本序列，从而存在\(E\)上的函数\(f\), 其在\(E_0\)上定义为\(0\)使得

\[\sup_{E-E_0}|f_m(t)-f(t)|\to0,\\ \]

又因为\(\sup_{E-E_0}|f_n(t)|\leq \sup_{E-E_n}|f_n(t)|=\mathrm{ess}\sup f_n\), 而\(\{\mathrm{ess}\sup f_n\}\)是有界的，所以\(\{f_n(t)\}\)是在\(E-E_0\)上一致有界的函数列，从而\(f\)是\(E\)上的有界函数，从而\(f\in L^\infty(E)\), 且

\[d_\infty(f_n,f_m)\leq \sup_{E-E_0}|f_m(t)-f(t)|\to0.\\ \]

这就得到了\(L^\infty(E)\)是完备的.

\(l^p(p\geq 1)\)按距离\(d_p(x_m,x_n)\)是完备的.

\(\mathbb{N}\)是自然数全体，\(\mathscr{B}\)是\(\mathbb{N}\)的子集全体. \(\mathscr{B}\)上的测度\(\mu\)如下：当\(M\in\mathscr{B}\)时，\(\mu(M)\)为集合\(M\)中的元素个数\(|M|\). 当\(\{x_n\}\in l^p\)时，将其视为函数\(x(n)=x_n\), 则\(l^p\)空间实际上就是\(L^p(\mathbb{N},\mathscr{B},\mu)\). 因此它是完备的.

2.3 闭球套与纲定理

完备空间拥有一些良好的性质. 其中比较重要的就是闭球套定理与纲定理.
一个闭球可以视为对应的开球的闭包，而一个闭球套是指对于前一个闭球来说，它完全包含后一个闭球，依次下去每一个闭球都完全包含在之前的所有闭球中，这样的包含可列个集合的集族称为一个闭球套. 它与实直线上的区间套，多维空间中的闭域套是类似的.

Thm 2.15. 设\(X\)是完备的度量空间，\(\{\overline{B}_n\}\)是\(X\)中的闭球套，其中\(\overline{B}_n:=\{x|d(x,x_n)\leq \varepsilon_n\}\)，它们满足\(\overline{B}_1\supset \overline{B}_2\supset\cdots\supset \overline{B}_n\supset \cdots\), 从而当球的半径\(\varepsilon_n\to0\)时，存在唯一的点\(\displaystyle x\in\bigcap_{n=1}^\infty \overline{B}_n\).

证明： 当\(m>n\)时，由\(x_m\in \overline{B}_m\subset \overline{B}_n\), 得到

\[d(x_m,x_n)\leq \varepsilon_n,\\ \]

对于任意\(\varepsilon>0\)，取\(N\)使得当\(n\geq N\)时，\(\varepsilon_n<\varepsilon\), 于是当\(m,n\geq N\)时

\[d(x_m,x_n)\leq \varepsilon_n<\varepsilon,\\ \]

因而球心所组成的点列\(\{x_n\}\)是基本点列. 由于\(X\)是完备的，所以点列\(\{x_n\}\)收敛于一点，记为\(x\). 令\(m\to 0\), 根据距离的连续性得到

\[d(x,x_m)\leq \varepsilon_m, m=1,2,3\cdots,\\ \]

即\(x\in \overline{B}_n\). 因此\(\displaystyle x\in\bigcap_{n=1}^\infty \overline{B}_n\). 再证明这一点是唯一的. 假设还有\(\displaystyle y\in\bigcap_{n=1}^\infty \overline{B}_n\).则\(d(y,x_n)\leq \varepsilon_n\), 取\(n\to\infty\), 得到\(\displaystyle d(x,y)=\lim_{n\to\infty}(y,x_n)=0\), 即\(x=y\). \(\blacksquare\)

注意闭球套定理中度量空间一定要是完备的，且球半径一定要收敛到\(0\).
反例： 考虑\(l^2\)空间中的全体点\(x_n\)的集合\(Y\)，其中\(x_n\)是除了第\(n\)个坐标为\(\frac{n+1}{n}\)外所有坐标都是\(0\)的点. 则当\(n\neq m\)时

\[d(x_n,x_m)=\sqrt{\left(\frac{n+1}{n}\right)^2+\left(\frac{m+1}{m}\right)^2}\geq \sqrt{2},\\ \]

从而\(Y\)中没有基本点列，因此\(Y\)是一个完备的度量空间. 取\(\varepsilon_n =\sqrt{2}\frac{n+1}{n}\), 做闭球

\[\overline{B}_n=\{x|d(x,x_n)\leq \varepsilon_n\},\quad n=1,2,\cdots\\ \]

则\(\overline{B}_n\)中只含\(x_n\)及它之后的点，所以\(\{\overline{B}_n\}\)组成闭球套，但是\(\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty \overline{B}_n\)是空的.

闭球套定理的逆命题也是成立的.

Thm 2.16. 设\(X\)是度量空间，如果任一半径收敛到\(0\)的闭球套都有唯一非空的交，则\(X\)是完备的.

证明： 取\(X\)中的基本列\(\{x_n\}\), 存在\(n_k\)，当\(n,m\geq n_k\)时

\[d(x_n,x_m)<\frac{1}{2^{k+1}},\\ \]

做一列闭球\(\overline{B}\left(x_{n_k},\frac{1}{2^k}\right)(k=1,2,\cdots)\), 当\(y\in \overline{B}\left(x_{n_{k+1}},\frac{1}{2^{k+1}}\right)\)时，由于

\[d(x_{n_k},y)\leq d(x_{n_k},x_{n_{k+1}})+d(x_{n_{k+1}},y)<\frac{1}{2^k},\\ \]

从而\(\displaystyle \overline{B}\left(x_{n_k},\frac{1}{2^k}\right)\supset \overline{B}\left(x_{n_{k+1}},\frac{1}{2^{k+1}}\right)\).

且存在唯一点\(\displaystyle x\in\bigcap_{n=1}^\infty \overline{B}_n\), 且\(d(x,x_{n_k})\to0\), 因为\(\{x_n\}\)是基本的，所以\(d(x_n,x)\to0\). \(\blacksquare\)

另一个重要的定理是纲定理，又称Baire定理.

Thm 2.17. 完备度量空间是第二类型集.

证明： 采用反反证法. 设完备度量空间\(X\)是第一类型集. 则记\(\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^\infty M_n\), 其中每个\(M_n\)都是稀疏集. 取一个球\(\overline{B}(a,1)\), 由于\(M_1\)稀疏，则存在\(X\)中的非空闭球\(\overline{B}(a_1,r_1)\subset \overline{B}(a,1)\), 使\(\overline{B}(a_1,r_1)\)中不含\(M_1\)的点；由于\(M_2\)稀疏，必存在\(\overline{B}(a_2,r_2)\subset \overline{B}(a_1,r_1)\), 这里我们取\(r_2\in(0,\frac{1}{2})\), 使得\(\overline{B}(a_2,r_2)\cap M_2=\varepsilon\), 依次下去可以得到一套非空闭球：

\[\overline{B}(a_1,r_1)\supset \overline{B}(a_2,r_2)\supset\cdots\supset \overline{B}(a_n,r_n)\supset\cdots,\quad \overline{B}(a_n,r_n)\cap M_n=\varnothing,0<r_n<\frac{1}{n}\\ \]

根据闭球套定理，存在\(\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty \overline{B}(a_n,r_n)\)中的一点\(x_0\). 由于\(\overline{B}(a_n,r_n)\cap M_n=\varnothing\)，所以\(x_0\)不在每个\(M_n\)中，因此\(x_0\notin \bigcup_{n=1}^\infty M_n\), 但是\(\bigcup_{n=1}^\infty M_n=X\). 这是矛盾的，因此\(X\)不是第一类型集. \(\blacksquare\)

利用Baire定理可以很简洁的证明实直线上的连续闭区间是不可列的. 根据稠密性和稀疏性的定义，我们还可以得到Baire定理的另一种表述：

设\(M\)是完备度量空间\(X\)中的第一类型集，则：(1).\((M)^\circ=\varnothing\), \(\overline{M^c}=X\); (2).\(M^c\)是第二类型集.

完备的距离空间中的第一类型集和第一类型集主要用来描述稀有性和一般性. 这在应用中是很有意义的. 应用Baire定理时主要的问题适当地构造某个第一类型集.

Exp 2.18.
(1). 在\(C([0.1])\)中具有无限全变差的函数集合\(V\)是非空的. 即\(V\)的余集\(V^c\)是第一类型的.
(2). 在\(C([0,1])\)中处处不可微的函数集合\(D\)是非空的. 即\(D\)的余集\(D^c\)是第一类型的.

一般的度量空间，如果不是完备的，往往在应用起来有困难.例如在不完备的空间中解方程，即使近似解的序列是基本的，也不能保证这个序列有极限，从而有可能不存在准确解. 因此我们要讨论一般的空间能否进行完备化.

Def 2.19. 设\((X,d_1)\)与\((Y,d_2)\)是两个度量空间，\(\varphi\)是\(X\)到\(Y\)的映射，如果对于每个\(x,y\in X\), 成立\(d_1(x,y)=d_2(\varphi x, \varphi y)\), 则称\(\varphi\)是\((X,d_1)\)到\((Y,d_2)\)上的等距映射, 如果还有\(\varphi(X)=Y\), 则称\((X,d_1)\)与\((Y,d_2)\)是等距同构的.

Def 2.20. 设\((X,d)\)与\((\tilde{X},\tilde{d})\)是两个度量空间，\((\tilde{X},\tilde{d})\)是完备的. 如果\(\tilde{X}\)中包含一个稠密子集\(X_0\), 且\((X_0,\tilde{d})\)与\((X,d)\)等距同构, 则称\((\tilde{X},\tilde{d})\)是\((X,d)\)的完备化空间.

根据定义，完备化空间还可以这样叙述：包含给定度量空间\((X,d)\)的最小完备度量空间称为\(X\)的完备化空间. 其中最小的含义是：任意一个以\((X,d)\)为子空间的完备度量空间都以此空间为子空间.

Thm 2.21. 任一度量空间都存在完备化空间. 度量空间的完备化空间再等距同构的意义下唯一.

整个定理的证明很长，具体参见：夏道行等，实变函数论与泛函分析 下册. 高等教育出版社. 下面大致说一下证明思路: 对于度量空间\(X\)，首先做出关于\(X\)的商集\(\tilde{X}\), 证明在“相等”意义下，\(d(\{x_n\},\{y_n\})\)是\(\tilde{X}\)上的距离；作关于基本点列\(\tilde{x}=(x,x,x,\cdots)\)的集合\(\tilde{X}_0=\{\tilde{x}|x\in X\}\), 证明子空间\(\tilde{X}_0\)在\(\tilde{X}\)上稠密；随后证明\(\tilde{X}\)是完备的；由于\(d(x,y)=d(\tilde{x},\tilde{y})\),把子空间\(\tilde{X}_0\)中的元素\(\tilde{x}\)换成\(x\)，而不改变\(\tilde{X}-\tilde{X}_0\)中的元素，并不会改变\(\tilde{X}\)中的距离，从而可将\(X\)视为\(\tilde{X}\)的子空间，于是\(X\)在\(\tilde{X}\)中稠密.

2.4 列紧集

在一般的度量空间中，不是每一个有界点列都有收敛子点列(具体可见夏道行书上4.9节的例1). 这就有必要引入下述列紧集的概念.

Def 2.22. 设\(Y\)是度量空间\(X\)中的子集，如果\(Y\)中任何点列必有在\(X\)中收敛的子列，则称\(Y\)是列紧的. 如果\(X\)自身是列紧集，则称\(X\)是列紧空间.

我们不加证明的给出列紧集的基本性质.

Prop 2.23. 列紧集存在下列性质：
(1). 有限点集是列紧的；
(2). 有限个列紧集的并集是列紧的，可列个列紧集的交是列紧的；
(3). 列紧集的子集是列紧的；
(4). 列紧集的闭包是列紧的；
(5). 列紧集中的基本列必然收敛，列紧的度量空间是完备的.

其中第五条性质表明了列紧性和完备性之间的关系，非常重要. 请读者自证.

\(n\)维欧几里得空间\(\mathbb{R}^n\)中的有界集是列紧集.

Def 2.24. 设\(A\)是度量空间\(X\)中的子集，\(B\subset A\), 对于\(\varepsilon>0\), 使得以\(B\)中各点维球心，半径为\(\varepsilon\)的开球的全体覆盖\(A\)，即\(\displaystyle \bigcup_{x\in B}B(x,\varepsilon)\supset A\), 则称\(B\)是\(A\)的\(\varepsilon\)-网.

Def 2.25. 设\(Y\)是度量空间\(X\)中的子集，对于任何\(\varepsilon>0\), \(Y\)中总存在有限的\(\varepsilon\)-网，则称\(Y\)是完全有界的.

在数学分析中，我们讨论过实直线上的有限覆盖定理. 实际上\(\varepsilon\)-网就是对有限覆盖的一种抽象描述.

Thm 2.26. 集合\(Y\)是度量空间\(X\)中的完全有界集当且仅当\(Y\)中任意一个点列必有一个基本子列.

证明： 必要性：设\(\{y_n\}\subset Y\), 由于\(Y\)完全有界，所以存在\(Y\)的有限的\(\frac{1}{n}\)-网\(\{x_1^{(n)},\cdots,x_{k_n}^{(n)}\}\), \(n=1,2,\cdots\). 因为\(\bigcup_nB(x_n^{(1)},1)\supset \{y_n\}\), 所以存在\(B(x_1^{(1)},1),\cdots,B(x_{k_1}^{(1)},1)\)中的一个开球含有\(\{y_n\}\)中的无限多项，不妨记为\(B(x_{m_2}^{(1)},1)\). 又因为\(\displaystyle \bigcup_nB\left(x_n^{(2)},\frac{1}{2}\right)\supset\{y_n\}\), 所以\(\displaystyle B(x_{m_2}^{(1)},1)\cap \bigcup_nB\left(x_n^{(2)},\frac{1}{2}\right)\)中含有\(\{y_n\}\)中的无限多项，因此有限个交集\(\displaystyle B(x_{m_1}^{(1)},1)\cap B\left(x_n^{(2)},\frac{1}{2}\right), n=1,2,\cdots,k_2\)中存在\(\displaystyle B(x_{m_1}^{(1)},1)\cap B\left(x_{m_2}^{(2)},\frac{1}{2}\right)\),含有\(\{y_n\}\)中的无限多项. 以此类推，对每个自然数\(n\)存在集合\(\displaystyle \bigcap_{t=1}^n B\left(x_{m_t}^{(t)},\frac{1}{t}\right)\)含有\(\{y_n\}\)中的无限多项，所以取子列\(\{y_{k_n}\}\)，使得

\[y_{k_n}\in \bigcap_{t=1}^nB\left(x_{m_t}^{(t)},\frac{1}{t}\right),\\ \]

且\(k_n<k_{n+1}\),则当\(t\leq n\)时，\(d(y_{k_n},x_{m_t}^{(t)})<\frac{1}{t}\). 因此，当\(t\leq n\)时，

\[d(y_{k_t},y_{k_n})\leq d(y_{k_t},x_{m_t}^{(t)}) + d(x_{m_t}^{(t)},y_{k_n}) <\frac{2}{t},\\ \]

因此\(\{y_{k_n}\}\)是\(X\)中的基本点列.
充分性：对于任意给定\(\varepsilon>0\)，从\(Y\)中取一点\(x_1\), 如果\(B(x_1,\varepsilon)\supset Y\), 则定理证得. 如果不然，取\(x_2\in Y-B(x_1,\varepsilon)\), 因而\(d(x_1,x_2)\geq \varepsilon\). 如果\(B(x_1,\varepsilon)\cup B(x_2,\varepsilon)\supset Y\), 则得证，否则取\(x_3\in Y-(B(x_1,\varepsilon)\cup B(x_2,\varepsilon))\), 重复进行上述操作. 进行\(n\)次之后得到\(x_1,\cdots,x_n\)适合\(\min_{1\leq i< j\leq n}d(x_i,x_j)\geq\varepsilon\). 且

\[\bigcup_{k=1}^nB(x_k,\varepsilon)\supset Y,\\ \]

则定理得证. 否则就一直进行下去，从\(Y\)中找到无限点列\(\{x_n\}\)，适合\(d(x_i,x_j)\geq\varepsilon\). 这个点列不能含有基本子点列，这和假设相矛盾. 因此对于任何\(\varepsilon>0\), \(Y\)必然又有限\(\varepsilon\)-网，即\(A\)是完全有界的. \(\blacksquare\)

根据Thm 2.26.，可得以下推论：

Coll 2.27. 度量空间中列紧集必是完全有界集；如果度量空间完备，则完全有界集必是列紧集. 完全有界集是有界集，列紧集必是有界集.

推论的证明并不难. 这里我们仅证明最后一句话. 设\(\{x_1,\cdots,x_n\}\)是完全有界集\(A\)的有限\(1\)-网，则对于每个\(x\in A\)，存在\(x_j\)使得\(d(x,x_j)<1\), 所以

\[d(x,x_1)\leq d(x,x_j)+d(x_j,x_1)\leq 1+\max_{1\leq j\leq n}d(x_j,x_1),\\ \]

从而\(A\)是有界集.

Thm 2.28. 完全有界集是可分的. 如果度量空间中每个完全有界集都是列紧的，则这个度量空间完备.

这个定理证明很简单. 证明可分性只需要证明其中的一个子集稠密就好了，那么我们很自然的想到它的有限\(\varepsilon\)-网，证明其稠密即可. 根据Prop 2.23的性质(5)可证明完备性.

Def 2.29： 设\(V\)是区间\([a,b]\)上的一族连续函数. 如果对于一个正数\(\varepsilon\), 有\(\delta>0\), 使得对于区间内任何两点\(x,x'\in[a,b]\), 当\(|x-x'|<\delta\)时，对\(V\)中每个函数\(f\)成立\(|f(x)-f(x')|<\varepsilon\), 则称\(V\)是等度连续的函数族.

“等度”表示\(V\)中每个函数的连续程度相同.

Thm 2.29.(Arzela-Ascoli) \(C([a,b])\)中的有界等度连续函数族是列紧集. \(C([a,b])\)中的列紧集必是等度连续的有界集.

定理的证明具体参见：夏道行等，实变函数论与泛函分析 下册. 高等教育出版社.

Def 2.30. 度量空间中的列紧闭集，称之为紧集.

很显然，对于全空间来说，列紧性和紧性并无区别. 一个集合\(Y\)是紧集当且仅当\(Y\)中任一点列必有收敛子列收敛到\(Y\)中的一点. 相比之下，列紧性只要求收敛到全空间中.

下面我们不加证明的给出Gross覆盖定理，从而刻画紧集的一个性质.

Thm 2.31.(Gross) \(Y\)是度量空间\(X\)中给紧集，\(\mathscr{G}\)是\(X\)中的一族开集. 如果\(\mathscr{G}\)覆盖\(Y\), 即\(\bigcup_{B\in\mathscr{G}}B\supset Y\), 则存在\(\mathscr{G}\)中的有限个开集\(B_1,\cdots,B_n\)覆盖\(Y\):\(\displaystyle \bigcup_{k=1}^n B_k\supset Y\).

Gross定理的逆命题也成立. 不难看出，当\(X=\mathbb{R}\)时，Gross定理就是Borel有限覆盖定理. 根据这个定理及其逆定理，我们可以赋予紧集的另外一个定义.

Thm 2.32. 设\(Y\)是\(X\)是度量空间中的紧集，以下两个命题等价：
(1). \(Y\)是列紧的闭集；
(2). \(X\)中每个覆盖\(Y\)的开集族中可选出有限个开集覆盖\(Y\).

本节中几个概念的关系如下：

\[A\text{有界}\Leftarrow A\text{完全有界} \xrightleftharpoons{X\text{完备}} A\text{列紧} \xrightleftharpoons{A\text{是闭集}} A\text{紧};\\ \]

如果\(A\subset \mathbb{R}^n\), 则

\[A\text{有界}\Leftrightarrow A\text{完全有界} \Leftrightarrow A\text{列紧} \xrightleftharpoons{A\text{是闭集}} A\text{紧};\\ \]

注意到以上公式中箭头达不到的地方. 即存在有界但不完全有界的集合, 存在有界闭集但非紧集的集合. 具体例子可参见：许天周. 应用泛函分析. 科学出版社.