20250829

坐标

给出 \(n\) 个坐标 \((X_i, Y_i)\) ，你需要构造不超过 40 个正整数 \(a_1, \cdots, a_m\) ，然后对于每个 \(i\) ，构造一组向量 \(v_1, \cdots, v_m\) ，使得

1. \(\forall 1 \leq j \leq m, v_j \in\{(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)\}\)。
2. \(\sum_{j=1}^m a_j v_j=\left(X_i, Y_i\right)\)。

\(|X_i|, |Y_i| \le 10^9\)。要求 \(1 \le a_i \le 10^{12}\)。

不妨 \(X_i, Y_i \ge 0\)。

若 \((X_i + Y_i) \bmod 2\) 不全相等，则无解，否则总能找到一组解。

如果分别做二进制划分只能做到 \(X_i, Y_i < 2^{20}\)：

\(\forall 0 \le i \le 19\)，放 \(2\) 个 \(2^i\)。若 \(X_i + Y_i\) 是奇数，则减少一个 \(1\)。

从低位往高位，每一位如果两边都有就直接放，两边都没有就自己抵消掉，否则把剩下的 \(2^i\) 和原来的一个 \(2^{i - 1}\) 作差表示一个 \(2^{i - 1}\)。

尝试把两边合起来做，希望每个 \(2^i\) 都能恰好出现一次，那么需要保持两侧剩下部分的总和当前位为 \(1\)。

需要 \(2^0\) 到 \(2^{30}\) 之间 \(2\) 的次幂各一个。初始如果第 \(0\) 位不是 \(1\) 则额外添一个 \(1\)。最坏 \(32\) 个数。

Decent Of Dragons（魔王神）

https://qoj.ac/problem/6608

显然可以考虑 \(O(n \sqrt n)\) 分块，需要离线逐块处理，维护原来某个值现在被移动到了哪里，散块修改查询时暴力 \(O(\sqrt n)\) 重构块内。

一种巧妙的方法是可持久化线段树，每个 \(v\) 有一个线段树的版本，下标 \(1 \sim n\)，维护区间是否有 \(\ge v\) 的值。每次修改把 \(x\) 所对应版本的 \([l, r]\) 复制到 \(x + 1\) 上。查询直接二分。\(O(n \log^2 n)\)。

Eileen 的游戏

https://qoj.ac/problem/8601

有 \(n\) 位英雄和 \(n\) 个怪物，第 \(i\) 位英雄的能力是 \(a_i\) ，第 \(i\) 个怪物的实力是 \(b_i\) ，保证 \(a_i, b_i\) 两两不同且它们构成一个 \(1 \sim 2 n\) 的排列。

现在，每位英雄将会挑选一个怪物与其对战。形式化地说，他们会选定一个排列 \(p\) ，使得第 \(i\) 位英雄对战第 \(p_i\) 个怪物。英雄会赢得战斗当且仅当其能力高于怪物的能力。

在战斗之后，我们考虑所有获胜的英雄的编号 \(S \subseteq\{1,2, \cdots, n\}\) 。

\(q\) 次询问，每次给定整数 \(l, r(0 \le l, r \le n)\)，求存在多少集合 \(S_i\) ，满足 \(|S_i| \in[l, r]\)，且存在一个排列 \(p\) 满足在这种对战情况下获胜英雄的编号集合为 \(S\) 。

\(1 \le n \le 5000\)，\(1 \le n \le 10^6\)，答案对 998244353 取模。

这个询问次数，显然应当求出 \(|S|\) 的每一种取值的方案数。下面计数 \(|S| = m\) 的合法方案数。

显然对 \(a\) 和 \(b\) 分别排序，用 \(S\) 中的元素从小到大去击败 \(b\) 的前 \(m\) 小，剩下的从小到大被 \(b\) 剩下的击败。设有 \(c_i\) 个 \(j\) 满足 \(b_j < a_i\)。

考虑从 \((0, 0)\) 走到 \((m, n - m)\)，每次向右或向下移动一格，禁止到达一些点，求方案数。假设向下一步对应 \(\vec{v_1} = (1, 0)\)，向右一步 \(\vec{v_2} = (0, 1)\)。

• 如果走了 \(i\) 步到达 \((t, i - t)\)，且 \(t > c_i\) 即 \(b_t > a_i\)，这是非法状态。那么禁止掉 \((c_i + 1, i - c_i - 1)\)。
• 如果走了 \(i - 1\) 步到达 \((i - 1 - t, t)\)，且 \(t < c_i - m\) 即 \(b_{m + t + 1} < c_i\)，那么将永远无法往右走。禁止掉 \((i - c_i + m, c_i - m - 1)\)。

画图观察发现，上述禁止的点覆盖了所有非法情况，禁掉这些就是充要的。然后可以 \(O(n^3)\)。

如果非法位置存在于这个矩形之内，那么前一类非法位置需要 \(c_i + 1 \le m\)，后一类非法位置需要 \(c_i \ge m + 1\)。因此存在第 \(d\) 步，使得这步之前没有第二类位置，这步之后没有第一类位置。\(d\) 为最后一个满足 \(c_i \le m\) 的下标。

那么拆开来分别 DP 再合并即可。

小 Z 与函数

int a[200005];
int get(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int vs = 0;
        for (int j = i; j <= n; j++)
            if (a[i] < a[j]) swap(a[i], a[j]), res++, vs = 1;
        res += vs;
    }
    return res;
}

有一个长度为 \(n\) 的序列 \(b\)。对于 \(b\) 的每个前缀，将其作为一个序列 \(a\)，求使用以上代码得到的函数值。
\(1 \le n \le 2 \times 10^5\)。

不考虑本轮是否发生至少一次交换，答案就是严格顺序对数，直接树状数组即可。

如果第 \(i\) 轮时，\(a_i\) 是后缀最大值，那么不会发生交换。

对于每种 \(a_i = x\)，找到第一个 \(a_p < x\) 的 \(p\)，那么第一个位置是 \(x\) 且不发生交换的次数为：

\[\sum\limits_{1 \le i \le n, a_i = x}\left[\max\limits_{j > i} \{a_j\} \le a_i\right] = \max\left(\sum_{1 \le i < p}[a_i = x] - \sum_{p < i \le n}[a_i > x], 0\right) \]

如果只剩下 \(\le x\) 的，那么 \(> x\) 的位置会优先被 \(x\) 填上。

使用线段树维护即可。这题之前做的，隔了一段时间，写的有点抽象。