字符串KMP算法详解
引入
字符串kmp算法用于解决字符串匹配的问题:
给出两个字符串 \(s_1\) 和 \(s_2\),若 \(s_1\) 的区间 \([l, r]\) 子串与 \(s_2\) 完全相同,则称 \(s_2\) 在 \(s_1\) 中出现了,其出现位置为 \(l\)。 现在请你求出 \(s_2\) 在 \(s_1\) 中所有出现的位置。
- 很显然,我们能够想到暴力求解:
cin>>s1>>s2;
ll lena=s1.size(),lenb=s2.size();
for(int i=0;i<=lena-lenb;++i){
bool flag=0;
for(int j=i,k=1;j<i+lenb;++j,++k){
if(s1[j]!=s2[k]){
flag=1;
break;
}
}
if(!flag)cout<<i+1<<'\n';
}
时间复杂度为 \(O(nm)\) ,显然是不被接受的。
-
接下来我们可以想到 字符串哈希
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int N=1e6+10;
ull h[N],hs=0;
char s[N],t[N];
ull qp(ull x,ull y)
{
ull now=x,ans=1;
while(y)
{
if(y&1)
ans*=now;
now*=now;
y>>=1;
}
return ans;
}
int main()
{
cin>>s+1>>t+1;
int l1=strlen(s+1),l2=strlen(t+1);
for(int i=1;i<=l1;++i)
h[i] = h[i-1]*131ull+s[i];
for(int i=1;i<=l2;++i)
hs = hs*131ull+t[i];
int ans=0;
for(int i=l2;i<=l1;++i)
{
ull now=h[i]-h[i-l2]*qp(131,l2);
if(now==hs)
ans++;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
我们假设所给定的字符串允许 \(k\) 次失配 , 时间复杂度为:\(O(m+kn· log_2^{m})\)
即使算法加入二分优化也卡不过硬性的匹配数据。
—— 那么,我们就可以考虑 字符串kmp算法
字符串kmp
设 \(s1 = a b a c a b a b , s2 = ababc\)
一开始,我们从 \(i=0\) 开始匹配:
基本思想
kmp算法的具体思路是当我们发现某一个字符串不匹配的时候,由于已经知道之前遍历过的字符,利用这些信息来做一个 backup 的操作。
用上面的例子,我们在主串中搜索 \(ababc\) 发现最后一个字符不匹配。由于我们知道上面读过那些字符,我们将字串移动到这个位置:
接着进行匹配,由于这里的 \(AB\) 和主串的 \(AB\) 相同,我们完全可以跳过他们,直接进行下一步的匹配:
那我们怎么知道要跳过多少个字符呢?
——那就要用到 kmp 算法中的 next 数组了。
kmp算法在匹配失败的时候:
我们回去看最后一个匹配字符的next值:
例如此处是 \(2\) 然后直接跳过 \(2\) 个字符:
这里 \(2\) 代表子串中我们可以跳过的字符,也就是说前面的这个 \(AB\) 不需要看了,直接进行下一步匹配:
很显然,这样操作是没有问题的,因为主串中跳过的这两个 \(AB\) 确实可以和子串中的 \(AB\) 匹配上。所以我们只需要继续匹配后面的字符即可。
由于不用把时间浪费在无意义的失配上,效率自然也提高了不少。
next 数组的生成
原理&思路
之前我们讲了,next数组是在字符串匹配失败的时候可以跳过的字符数量。但凭什么可以这么做呢?
因为之前我们成功匹配了这两个 \(AB\)
和前面跳过的这两个 \(AB\) 是完全一致的:
也就是说,多于字串的前 \(4\) 个字符,他们拥有相同的前缀的后缀 \(AB\) 长度为 \(2\)
其实 next 数组本质就是寻找子串中相同且最长(真)前后缀的长度。
例如这里的 长度为 \(3\) 的相同前后缀 \(ABA\)
我们要找的前后缀必须是真前缀和真后缀,既不能是字符串本身。
我们还是用刚才的例子来解释,很显然对于第一个字符肯定不存在比他还短的前后缀,next 值直接为 \(0\)
对于前两个字符同样不存在相同的前后缀,next 值为 \(0\)
对于前 \(3\) 个字符,由于 \(A\) 是最长且相同的前后缀,所以为 \(1\)
以此类推:
我们就得到了整个 next 数组,那算法应该怎么写呢?
具体操作
算法实现我们可以采用一种递推的思路来求解,他可以不断地利用已经掌握的信息来避免重复的计算。
假设我们已经知道当前共同的前后缀了:
接下来分两种情况讨论,如果下一个字符依然相同:
就直接构成了一个更长的前后缀,很显然它的长度等于前面一项加 \(1\) 。
但如果下一个字符不同:
既然 \(ABA\) 无法与下一个字符构成更长的前后缀,
我们就看看是否存在更短的,比如这里的 \(A\) 他其实是有可能与下一个字符构成相同的前后缀的。
这一步难道要暴力求解?其实不用。
根据之前的计算,我们掌握了一个重要信息,就是字串前后这两部分是相同的。
也就是说,右边这部分的后缀等同于左边这部分的后缀,那我们直接在左边这部分查询即可。
左边的前后缀我们之前已经计算过了,查表可得,next值为 \(1\)
于是我们又回到了最开始的步骤,检查下一个字符是否相同:
如果相同长度加 \(1\) 即可。
操作正确性
算法实现
我们掌握了next数组的操作原理后,代码就很好实现了。
我们可以采用简单的 \(for\) 和 \(while\) 循环来实现,可以参考以下代码加深理解。
cin>>a>>b;
a='&'+a,b='&'+b;
ll lena=a.size(),lenb=b.size();
nxt[0]=nxt[1]=0;
for(int i=2,j=0;i<lenb;++i){
while(j&&b[i]!=b[j+1])j=nxt[j];
nxt[i]=(b[i]==b[j+1])?++j:0;
}
整体实现
来到这一步,我们已经掌握了字符串kmp中90%的部分,只需要最后的利用next数组匹配即可。
注意代码的具体实现可能会有点绕,需仔细理解其每一部分都操作。
可以参考这道题: P3375 【模板】KMP
参考代码(对应上述题目):
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
#define ll long long
ll nxt[N];
string a,b;
int main(){
cin>>a>>b;
a='&'+a,b='&'+b;
ll lena=a.size(),lenb=b.size();
nxt[0]=nxt[1]=0;
for(int i=2,j=0;i<lenb;++i){
while(j&&b[i]!=b[j+1])j=nxt[j];
nxt[i]=(b[i]==b[j+1])?++j:0;
}
for(int i=1,j=0;i<lena;++i){
while(j&&a[i]!=b[j+1])j=nxt[j];
if(a[i]==b[j+1])++j;
if(j+1==lenb)j=nxt[j],cout<<i-lenb+2<<'\n';
}
for(int i=1;i<lenb;++i)cout<<nxt[i]<<' ';
return 0;
}
参考文献: