代数最值与函数随记
代数式 \(ax^2+bx+c\) 的最值是 ( ) , （ ）时有最大值，( ) 有最小值。
- 代数解
\[ax^2+bx+c
\]
\[=a(x^2+\frac{b}{a}x) + c
\]
\[=a[(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2]+c-\frac{b^2}{4a^2}·a
\]
\[=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}
\]
\(\therefore\) 易得，当 \(x=-\frac{b}{2a}\) 时有最值。\(a<0\) 时有最大值，\(a>0\) 时有最小值。最值是 \(\frac{4ac-b^2}{4a}\) 。
- 函数解
当 \(a<0\) 时：
易得，顶点（即函数最大值）为：\(\frac{4ac-b^2}{4a}\) 。
当 \(a>0\) 时：
易得，顶点（即函数最小值）为：\(\frac{4ac-b^2}{4a}\) 。
\(\therefore\) 综上，当 \(x=-\frac{b}{2a}\) 时有最值。\(a<0\) 时有最大值，\(a>0\) 时有最小值。最值是 \(\frac{4ac-b^2}{4a}\) 。
对比于函数解与代数解，函数解能够更加直观地找出题目所求线索，而代数解更倾向于无脑解题。
