二项式定理

二项式定理

• 观察下列各式及其展开式

\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \]

\[(x+y)^3=x^3+3x^2y+3yx^2+y^3 \]

\[(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 \]

\[\cdots \cdots \]

• 杨辉三角

\[1 \]

\[1 \quad 1 \]

\[1 \quad 2 \quad 1 \]

\[1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \]

\[\cdots \quad \cdots \]

即:

\[C^0_0 \]

\[C^0_1 \quad C^1_1 \]

\[C^0_2 \quad C^1_2 \quad C^2_2 \]

\[C^0_3 \quad C^1_3 \quad C^2_3 \quad C^3_3 \]

\[\cdots \quad \cdots \]

很容易发现，杨辉三角中的第 \(n\) 行的每一个数字分别与 \((x+y)^n\) 的展开式的每一个单项式的系数对应。

那么，我们很容易猜想

\[(x+y)^5=C^0_5·x^5 + C^1_5·x^4y + C^2_5·x^3y^2 + C^3_5·x^2y^3 + C^4_5·xy^4 + C^5_5·y^5 \]

而事实亦然如此。

综上，我们可以得出 二项式定理的公式

\[(x+y)^n = \sum_{i=0}^{n}{C^i_n·x^{n-i}y^i} \]

例题

求 \((2x + \frac{1}{\sqrt{x}})^7\) 的展开式中 \(x\) 的系数。

\[\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \]

\[\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} \]

设 \(2x\) 的指数为 \(m\) , \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) 的指数为 n

\[\begin{cases} m+n=7\\ m - \frac{1}{2} n=1 \end{cases} \]

解得

\[\begin{cases} m=3\\ n=4 \end{cases} \]

易得，展开式中第 \(5\) 项单项式即为所求单项式。

\[C^4_7·(2x)^3·(\frac{1}{\sqrt{x}})^4 = 35·8x^3·\frac{1}{x^2} = 280 x \]

\(\therefore\) 展开式中 \(x\) 的系数为 \(280\)