因式定理

• 用 \(f(x)\) 表示一个关于 \(x\) 的代数式。
• 用 \(f(a)\) 表示当 \(x=a\) 时代数式是的值。

因式定理

\(f(x)\) 有因式 \((x-a)\) 则 \(f(x) = (x-a) \times g(x)\)

$f(a) = (a-a) \times g(a) = 0 $

• 逆定理

若 \(f(a) = 0\) 则 \(f(x)\) 有因式 \((x-a)\)

例题

已知 \(2x^4-3x^3+ax^2+7x+b \equiv 0 (\bmod x^2+x-2)\) 求 \(\frac{a}{b}\)

• 待定系数法

\[(x^2+x-2)(kx^2+mx+n) \]

\[kx^4+k^3-2kx^2+mx^3+mx^2-2mx+nx^2+nx-2n \]

\[kx^4+(k+m)x^3+(m+n-2k)x^2+(n-2m)x-2n \]

\[2x^4-3x^3+ax^2+7x+b \]

易得， \(a=-12,b=6\) 即 \(\frac {a}{b} = -2\)

其实，我们很容易发现待定系数法中的 \((kx^2+mx+n)\) 就是一个二次函数的标准式。把他看成一个函数又是另外一种做法。

• 因式定理

\(\because x=1\) 时 \(x^2+x-2=0\)

\(\therefore x^2+x-2 = (x-1)(x+2)\)

\[f(x)=(x-1)(x+2)\times g(x) \]

\[f(1)=f(-2)=0 \]

\[\begin{cases} 2-3+a+7+b=0\\ 32+24+4a-14+b=0 \end{cases} \]

\[\begin{cases} a+b=-6\\ 4a+b=-42 \end{cases} \]

\[\therefore \begin{cases} a=-12\\ b=-6 \end{cases} \]

\[\therefore \frac {a}{b} = -2 \]

因式定理在解决初中数学联赛“轮换式”的因式分解的时候常用。