【种类并查集】洛谷 P2024 [NOI2001] 食物链

题目

https://www.luogu.com.cn/problem/P2024

题解

种类并查集又称为扩展域并查集，是并查集的一种扩展形式，主要用于处理多组对立关系或多种状态划分的问题。在处理种类并查集问题时，有多少种类，就得开几倍的空间，用于表示所有的种类。

由题意，不妨假设现在有 \(n\) 种动物，且这 \(n\) 种动物必定都是 \(A,B,C\) 其中一种。它们的关系是 \(A\) 吃 \(B\)，\(B\) 吃 \(C\)，\(C\) 吃 \(A\)。那么对于该题，就是有三种种类，分别是同类、猎物和天敌。因此，使用种类并查集就需要开 3 倍空间大小。对于第 \(x\) 个人，不妨设其同类的集合为 \(exdsu[x]\)，猎物的集合为 \(exdsu[x+n]\)，天敌的集合为 \(exdsu[x+2 \times n]\)。可以画出其关系图为：

不妨假设存在两只动物 \(a(1 \leq a \leq n)\) 和 \(b(1 \leq b \leq n)\)，那么 \(a\) 的同类、猎物和天敌的集合分别为 \(exdsu[a],exdsu[a+n] 和 exdsu[a+2 \times n]\)，\(b\) 的同类、猎物和天敌的集合分别为 \(exdsu[b],exdsu[b+n] 和 exdsu[b+2 \times n]\)。可以画出它们的关系图为：

若 \(b\) 是 \(a\) 的猎物，则 \(exdsu[a+n]\) 和 \(exdsu[b]\) 是同类，那么有关系图（为方便画图，简单将 \(exdsu[x]\) 表示为 \(x\)）：

因为猎物关系和天敌关系不好表示，因此可以将它们转化为同类关系，使用种类并查集将所有的同类关系的集合合并起来。那么根据上述图表关系，有：

• 若 \(x\) 和 \(y\) 的同类，则需要分别将 \(exdsu[x]与exdsu[y]，exdsu[x+n]与exdsu[y+n]和exdsu[x+2 \times n] 与exdsu[y+ 2 \times n]\) 进行合并；
• 若 \(y\) 是 \(x\) 的猎物，则需要分别将 \(exdsu[x]与exdsu[y+2 \times n]，exdsu[x+n]与exdsu[y]和exdsu[x+2 \times n] 与exdsu[y+n]\) 进行合并。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

constexpr int N = 5e4 + 1;
int n, k, x, y, ans;
char op;
int exdsu[N * 3];

int find(int x) {
    return x == exdsu[x] ? x : exdsu[x] = find(exdsu[x]);
}

void merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    exdsu[fy] = fx;
}

bool isLie() {
    if (x > n || y > n) return true;// x 或 y 比 n 大必是假话
    if (op == '2' && x == y) return true;// 吃自己是假话
    if (op == '1' && (find(x) == find(y + n) || find(x + n) == find(y))) return true;// 已经是异类却说是同类，假话
    if (op == '2' && (find(x) == find(y) || find(y + n) == find(x))) return true;// x 是 y 的同类或猎物
    return false;// 说的是真话
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
    cin >> n >> k;
    iota(exdsu + 1, exdsu + 1 + 3 * n, 1);
    while (k --) {
        cin >> op >> x >> y;
        if (isLie()) {
            ++ ans;
            continue;
        }
        if (op == '1') {
            merge(x, y);
            merge(x + n, y + n);
            merge(x + 2 * n, y + 2 * n);
        } else {
            merge(x + n, y);
            merge(x + 2 * n, y + n);
            merge(x, y + 2 * n);
        }
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}