【更相减损术】洛谷 P10031 「Cfz Round 3」Xor with Gcd

前言

更相减损术简介

更相减损术是中国古代数学著作《九章算术》中记载的一种算法，主要用于求两个整数的最大公约数（GCD）。它比欧洲的欧几里得算法（辗转相除法）早了约300年，是中国数学史上的重要成就。

原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数之差的最大公约数

公式：gcd(a, b) = gcd(min(a, b), |a - b|)，其中 a ≥ b > 0

算法描述

1. 输入两个正整数 a 和 b
2. 如果 a = b，则a（或b）就是最大公约数
3. 如果 a ≠ b，则用较大的数减去较小的数
4. 将得到的差与较小的数作为新的 a 和 b
5. 重复步骤 2-4，直到两数相等

案例
以求解 84 与 36 的最小公约数为例，下面是更相减损术的计算过程：

题目

https://www.luogu.com.cn/problem/P10031

题解

输入一个正整数 \(n\)，求 \(gcd(1, n) \oplus gcd(2, n) \oplus ⋯ \oplus gcd(n, n)\) 的结果，\(1\leq n \leq10^{18}\)。

由更相减损术可知：

• \(gcd(i, n)=gcd(n-i, i)\)
• \(gcd(n-i,n)=gcd(i,n-i)\)

那么可推知：\(gcd(i,n)=gcd(n-i, n)\)。

又因为一个数异或自身等于 \(0\)，因此:

• 当 \(n\) 为奇数时，\(gcd(1, n) \oplus gcd(2, n) \oplus ⋯ \oplus gcd(n, n) = gcd(n, n) = n\)
• 当 \(n\) 为偶数时，\(gcd(1, n) \oplus gcd(2, n) \oplus ⋯ \oplus gcd(n, n) = gcd(n/2,n) \oplus gcd(n, n) = n/2 \oplus n\)

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);

ll n;
int T;

void solve() {
    cin >> n;
    ll ans = n & 1 ? n : n ^ n / 2;
    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    IOS
    cin >> T;
    while (T --) {
        solve();
    }
    return 0;
}