【容斥原理】codeforces 2125 C. Count Good Numbers

题目

https://codeforces.com/problemset/problem/2125/C

题解

此题是容斥原理的典题，先简要介绍容斥原理：

容斥原理的核心思想是：“先全部加起来，再减去多算的，再加回多减的，如此反复，直到得到精确结果”。它用于计算多个集合的并集大小，尤其是在这些集合有重叠时。容斥原理的一般形式为：

\[\left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq n} \left| A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k} \right| \]

本题要求的是大小在 \(l\) 和 \(r\) 之间（包括端点）的所有质因子都至少为两位数的数的个数，而一位数的质数有且仅有2 3 5 7四个数，因此只要算出 \(1\) ~ \(r\) 范围内剔除所有质因数包含2 3 5 7的数的个数，再减去\(1\) ~ \(l\) 范围内剔除所有质因数包含2 3 5 7的数的个数，就是答案。

参考代码

int a[N] = {2,3,5,7};//小于 10 的所有质数

ll calc(ll x) {// 计算 x 以内有多少个数的质因子至少都是大于等于 10 的
    if (x <= 0) return 0LL;
    ll res = x;
    for (int i = (1 << 4) - 1; i; -- i) {
        int signal = 0;
        int product = 1;
        for (int j = 0; j < 4; ++ j) {
            if (i >> j & 1) {
                ++ signal;
                product *= a[j];
            }
        }
        signal = signal & 1 ? -1 : 1;
        res += signal * x / product;
    }
    return res;
}

void solve() {
    ll l, r;
    cin >> l >> r;// 输入范围
    ll ans = calc(r) - calc(l - 1);// 得到 [l, r] 有多少个数满足质因子至少是两位数及以上
    cout << ans << '\n';
}