P9131 [USACO23FEB] Problem Setting P 题解

P9131 [USACO23FEB] Problem Setting P 题解

注意到最终形成的困难序列是一个不断包含的子集的关系，包含是非严格单调的，考虑转化为单调的形式易于计数 dp。具体地，对于一些相同的困难值 \(i\)，算出其内部排列数 \(g(i)\)，于是转化成了单调的 dp 形式。

于是实际上计算 \(dp_{i}\) 表示集合末项为 \(i\) 时总排列的方案数。对于 \(dp_{i}\) 的转移，simple 的想法是枚举子集。考虑优化。一般地，显然考虑到的是 SOSdp。但是直接高维前缀和并不知道所有的 \(dp_i\) 是不可行的。考虑按照 \(|i|\) 分类，一次只转移一层，用之前算过的所有 dp 值转移当前的 dp 做 SOSdp 的板子就可以了。

对于 \(g(i)\) 的 \(O(n)\) 求法：\(g(i)=\sum_{j=1}^i{i\choose j}j!=\sum_{j=1}^i\dfrac{i!}{(i-j)!}=\sum_{j=0}^{i-1}\dfrac{i!}{j!}=i+i\times \sum_{j=0}^{i-2}\dfrac{(i-1)!}{j!}=i+i\times g(i-1)\)。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define M 21
#define int long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n, m;
int dp[(1 << M) + 2], sm[(1 << M) + 2];
int cnt[(1 << M) + 2];
int vl[(1 << M) + 2];
char s[N];
int num[(1 << M) + 2];
vector<int>v[M];
int ans;
signed main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		scanf("%s", s);
		for (int j = 0; j < n; j++)
			if (s[j] == 'H')
				num[j] |= 1 << i;
	}
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cnt[num[i]]++;
	vl[1] = 1;
	for (int i = 2; i < N; i++)
		vl[i] = i * (vl[i - 1] + 1) % mod;
	int lim = 1 << m;
	for (int i = 0; i < lim; i++)
		v[__builtin_popcount(i)].push_back(i);
	dp[0] = vl[cnt[0]];
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int sta = 0; sta < lim; sta++)
			sm[sta] = dp[sta];
		for (int j = 0; j < m; j++)
			for (int sta = 0; sta < lim; sta++)
				if ((sta >> j) & 1)
					sm[sta] = (sm[sta] + sm[sta ^ (1 << j)]) % mod;
		for (auto sta : v[i])
			dp[sta] = (sm[sta] + 1) * vl[cnt[sta]] % mod;
	}
	for (int i = 0; i < lim; i++)
		ans = (ans + dp[i]) % mod;
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}