P3193题解

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一道很好的综合题目。

一、题意分析

简化题意：给定一个仅含数字的长度为 $M$ 的模式串，请用数字填充一个长度为$N$的空串，使得模式串无法与该串的任何子串匹配。

二、解法分析

1.爆搜

首先想到爆搜。用$10$种方案填$n$个空，是$O(10^n)$的复杂度，加上$O(n)$的判等，总复杂度是$O(n \cdot 10^n)$的。但是$n=10^9$...

2. $\ \ dp$

题目中有两个串，容易想到定义$dp[i][j]$为在串中填了$i$位，符合与模式串的$j$位无法匹配的方案数。

那么$dp$的边界就很清楚了：依据定义， $dp[0][0]=1$ （空串与空串必然匹配啊）。

下来思考转移。显然这里的转移要由两个维度转移而来，可以想到要预处理出模式串中满足前$i$位的数转移到满足前$j$位的方案数。我们令这个方案数为$g[i][j]$。设$dp[i][j]$由$dp[i-1][k]$转移而来，那么显然$dp[i][j]+=dp[i-1][k] \times g[j][k]$ 。

显然这个 $g[i][j]$ 是恒定不变的，且$i<m,j<m$（不然怎么转移？）且只与模式串有关。而模式串的长度是$M\le20$，可以放心预处理。

那么怎么预处理呢？

思考一个问题：长度由$j$增加到$i$必然可以转移的条件是什么？

如果一个长度为$j$的串已经不匹配了，现在要转移到$i$处去，那只需要填上所有原来模式串的内容就可以了。但前提是填上的内容要在这个串里出现过（不然出现别的串，不满足了）。

听不懂？很正常。来，举个例子。设模式串为$12345612389$，如果前9位$3$处已经不匹配，那么后三位就可以直接

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