P1679 神奇的四次方数
P1679 神奇的四次方数
题目描述
在你的帮助下，v神终于帮同学找到了最合适的大学，接下来就要通知同学了。在班级里负责联络网的是dm同学，于是v神便找到了dm同学，可dm同学正在忙于研究一道有趣的数学题，为了请dm出山，v神只好请你帮忙解决这道题了。
题目描述：将一个整数m分解为n个四次方数的和的形式，要求n最小。例如，m=706,706=5^4+3^4,则n=2。
输入输出格式
输入格式：
一行，一个整数m。
输出格式：
一行，一个整数n。
输入输出样例
说明
数据范围：对于30%的数据，m<=5000;对于100%的数据，m<=100,000
由记忆化递归的参数推出DP的状态及状态转移方程
完全背包问题
洛谷题解：
这道题目我们使用背包问题的思想来做。
这里，我们先把每一个四次方数打表。打到什么位置呢？
通过简单的推理，我们发现，只要打到\sqrt[4]{m}4m的4次方就够了。
为什么呢？因为为了凑出这个数，我们肯定用比他小的数来凑，如果超过了\sqrt[4]{m}4m，就不可能用上了。
因此我们也可以用楼下的方法，打表打到18，因为{18}^{4}184已经超过了max(m)={10}^{5}max(m)=105。
然后，以每一个四次方数为体积，1为物品重量，做完全背包（压维）。
特殊在于，f数组初始化为Inf.初值设置f_0=0f0=0，那么最终的结论就是f_mfm。
代码：
（其实这篇题解最重要的是下面这个部分）。
Extra：若把四方数改为平方数，那么做法也是一样的；
不过这时有一个定理，叫拉格朗日四方和定理。有兴趣的同学可以自行查阅。
它的大概意思就是，任何自然数都可以表示为n个平方数之和（n<=4）。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<cmath> 4 #define min(x,y) (x<y?x:y) 5 const int MAXN=200010; 6 int s[MAXN],f[MAXN]; 7 int m; 8 9 int main() 10 { 11 scanf("%d",&m); 12 for(int i=1;i<=m;i++) 13 f[i]=1e8; 14 int n=ceil(sqrt(sqrt(m))+1); 15 for(int i=1;i<=n;i++) 16 s[i]=i*i*i*i; 17 for(int i=1;i<=n;i++) 18 for(int j=s[i];j<=m;j++) 19 f[j]=min(f[j],f[j-s[i]]+1); 20 printf("%d\n",f[m]); 21 }
这道题……比较容易看出来是个完全背包问题~
只不过要我们求最小值
递推关系f[v]=max{f[v],f[v-w[i]+c[i]]}
这里我们让i=1 to 18 (18^4>100000)
w[i]=i*i*i*i;c[i]=1;这里我们可以省略掉c[i]数组了
我们只需要将f[i]初始化为inf并且f[0]=0;
还有一些微小的改动
具体参考代码：
#include<bits/stdc++.h>
int f[200001],w[200001],n=18,m;
using namespace std; //全局变量部分
int main()
{
memset(f,0xf,sizeof(f));
f[0]=0;cin>>m; //初始化数据
for(int i=1;i<=n;i++)
w[i]=i*i*i*i;
for(int i=1;i<=n;i++) //完全背包
for(int v=w[i];v<=m;++v)
if(f[v]>f[v-w[i]]+1)
f[v]=f[v-w[i]]+1;
cout<<f[m];
}
