什么是线性变换和非线性变换

什么是线性变换和非线性变换

一、总结

一句话总结：

[①]、从数值意义上，变换即函数，线性变换就是一阶导数为常数的函数，譬如y=kx，把y=kx拓展为n维空间的映射，x、y看做n维向量，当k为常数时，易得满足同质性f(ka)=kf(a)，当k为一个矩阵时，易得满足可加性f(a+b)=f(a)+f(b)。

[②]、同质性和可加性又称为线性条件，满足该条件则为线性变换，反之则为非线性变换。

[③]、一个变换，其实就是一个函数f(x)，输入为x，在通过这个函数之后就变成了y对吧，那么这个从输入到输出的转变过程就是所谓的变换，至于变换是非线性还是线性的，完全取决于函数长什么样子，

[④]、如果函数可以表达为ax+b的形式，就是线性的（在平面上画出来是一条直线），如果出现了指数(x^3)或者对数项(log(x))之类的，就是非线性的（在平面上画出来是一条曲线）

 

 

二、什么是线性变换和非线性变换

转自或参考：什么是线性变换和非线性变换？
https://www.zhihu.com/question/298320067

 

从几何意义上，线性变换表示的是直线的特性，符合两个性质：变换前后零点不变，变换前后直线还是直线。

线性变换意味着可以将空间中的向量围绕零点进行旋转伸缩，但不能将其弯曲，否则则是非线性变化。

非线性变换将空间进行了扭曲，比如把SVM中的核函数看做描述低维空间到高维空间的映射，把原始低维空间中线性不可分的数据变成高维空间中线性可分的数据，优雅解决了问题。

从数值意义上，变换即函数，线性变换就是一阶导数为常数的函数，譬如y=kx，把y=kx拓展为n维空间的映射，x、y看做n维向量，当k为常数时，易得满足同质性f(ka)=kf(a)，当k为一个矩阵时，易得满足可加性f(a+b)=f(a)+f(b)。

同质性和可加性又称为线性条件，满足该条件则为线性变换，反之则为非线性变换。

 

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其实这个问题很容易理解，一个变换，其实就是一个函数f(x)，输入为x，在通过这个函数之后就变成了y对吧，

那么这个从输入到输出的转变过程就是所谓的变换，至于变换是非线性还是线性的，完全取决于函数长什么样子，

如果函数可以表达为ax+b的形式，就是线性的（在平面上画出来是一条直线），如果出现了指数(x^3)或者对数项(log(x))之类的，就是非线性的（在平面上画出来是一条曲线）

 

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线性回归和非线性回归

 

线性回归的话其实就是用线性模型去解决回归问题，那什么是线性模型呢，我们这里假设输入为X，X是三维的，

因此我们可以将输入表示为：（x1, x2, x3）那么线性模型的假设函数就可以表示为w1 * x1+w2 * x2+ w3 * x3 + bias，

这样形式的模型就是线性模型，换句话说就是对输入做线性变换，和题主问的问题还挺相似的吧！

同理，非线性回归就是用非线性模型来做回归，非线性模型，如果你能写出那个假设函数，就会发现，这个公式里边会包含一些高次项，比如指数等